伯恩斯坦運算元逼近

伯恩斯坦運算元逼近是用伯恩斯坦多項式的逼近。伯恩斯坦多項式是逼近連續函式的一系列多項式，可在外爾斯特拉斯逼近定理的構造性證明中使用。

簡介

伯恩斯坦運算元逼近是用伯恩斯坦多項式的逼近。

伯恩斯坦運算元逼近

設f∈[a,b]，稱為f的n階伯恩斯坦多項式。它是C[0,1]到C[0,1]的一個正線性運算元，也稱為伯恩斯坦運算元。

性質

伯恩斯坦運算元逼近

伯恩斯坦運算元逼近

伯恩斯坦運算元逼近

伯恩斯坦運算元逼近

當n→∞時，||B(f)-f||→0。運算元序列是飽和的，飽和階是，而飽和類是{f|f∈C[0,1]且f'∈Lip1}。更確切地說，存在正數C，對於任何f∈C[0,1]及x∈[0,1]，都有而且f'∈Lip1等價於這裡ω(f,δ)是f的二階光滑模。

伯恩斯坦多項式

(Bernstein polynomial)

伯恩斯坦多項式是逼近連續函式的一系列多項式，可在外爾斯特拉斯逼近定理的構造性證明中使用，它是由伯恩斯坦(Бернштейн.С.Н.)於1912年給出的。

伯恩斯坦運算元逼近

設函式f:[0,1]→R(或C)，對於n∈N，B(f,x)稱為f的n階伯恩斯坦多項式。它的次數不超過n。