黃金分割
黃金分割簡介
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為“黃金分割”，也稱為“中外比”。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。
菲波那契數列
讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"斐波那契數列"，這些數被稱為"菲斐波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。
菲波那契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
2000多年前,古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波契數列1，1，2，3，5，8，13，21，...後二數之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。
黃金分割的由來
黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為"金法"，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為"各種算法中最可寶貴的算法"。這種算法在印度稱之為"三率法"或"三數法則"，也就是我們現在常說的比例方法。
其實有關"黃金分割"，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數學家獨立創造的，後來傳入了印度。經考證。歐洲的比例算法是源於我國而經過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。
因為它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的長寬設計中，採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的套用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的套用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
黃金分割〔Golden Section〕是一種數學上的比例關係。黃金分割具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值。套用時一般取0.618 ，就像圓周率在套用時取3.14一樣。
由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。 公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。
公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。
中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。
黃金分割值
黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為根號5加1再除以2，約為0.61803398874989484820458683436564。
早在兩千多年前，古希臘數學家歐多克斯就發現：如果將一個長度分割成大小兩段，若小段與大段的長度之比等於大段的長度與全長之比，那么這一比值等於0.618，人稱“黃金分割”。現在科學研究表明，0.618的位置經常成為自然界乃至生活的最佳狀態。
稍微留心一下你會發現，節目主持人站在舞台長約占0.618的位置，會更顯風采，若站在正中間，反而會顯得呆滯。一個體態勻稱的人，膝蓋到腳趾與肚臍到腳底的長度之比也為0.618。
有趣的是，人們認為樂曲也有“黃金分割”。數學家對莫扎特的樂曲做過分析：莫扎特的每一段鋼琴協奏曲都可以分成兩大部分，顯示部和展開——再現部。如果計算一下節拍次數，其第一部分和第二部分節拍數的比幾乎與黃金分割完全一致。
0.618也可以用於健康長壽方面。人的正常體溫為37℃，與0.618的乘積為22.8℃，因此人在環境溫度為22℃至24℃時感覺最舒適，這時肌體的新陳代謝、生理節奏和生理功能處於最佳狀態。人的動與靜也應該保持0.618的比例關係，大致四分動、六分靜，這是最佳的養生和長壽之道。
做一個RT三角形ABC,直邊AC的長度是斜邊BC的一半，以C為圓心，AC為半徑，做圓交BC於D,以B為圓心，BD為半徑做圓交AB於E，BE與EA之比即為黃金分割。筆直可計算出，為
[5^(1/2)-1]/2≈0.618
記住0.618就可以了.這個精度足夠用了。
黃金分割套用
人體黃金分割
在人的身體上，人的肚臍是人體的黃金分割點，即從腳跟到肚臍的距離與人的身高比，這個比值應為黃金數0．618……這時人看起來最協調，但大多數的人還達不到這個比值，所以一些愛美的女士就穿上了高跟鞋。但高跟鞋可不能亂穿，一定要根據自己的實際身高選擇合適的鞋跟高度，否則就會適得其反。在人的腿上也有一個黃金分割點，是人的膝蓋。它是肚臍到腳跟的黃金分割點，除了在人的身上有黃金分割點，一些屋子的門窗的寬與長的比，是黃金比。奇怪的是在植物上也可以找到黃金分割的影子，有些植物莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28分，這恰好是把圓分成1：0．618……的兩條半徑的夾角，據研究發現，這種角度對植物通風和採光效果最佳。
五角星/正五邊形
一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關係都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。
由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18 。
黃金分割點約等於0．618：1 是指分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。
利用線段上的兩黃金分割點，可繪製出正五角星、正五邊形。
書法
毫無疑問，用數學方法來給書法藝術做出公式性規定是違背藝術規律的，這如同歷史上的“台閣體”一樣束縛藝術的創造生命，但為了闡明書法的一些普遍規律，有時借鑑一點數學方法我想也是可以的。本文希望利用黃金分割來對傳統書法理論中的間架結構法則作更詳細更便於實踐演練的闡述，以及對較長期以來爭論不休的鋼筆橫行書寫的章法問題提出我個人的看法。
一、黃金分割與楷書傳統間架結構法則
我們都知道，傳統藝術理論大都有以下兩個特點：一是重質不重量，講求微言大義，往往因為求簡約而把話說得太絕對；二是說到一定層度難以言傳時則用我們獨有的精妙的模糊語言，如神、氣、韻等，或者用喻，“如風行水上”一類，因為只有這種“模糊”才能表達得精確。但這樣的理論便於領會神髓卻不便於操練技法，因此，我們可以借鑑數學方法總結出一些便於學習技法的規律作為對傳理論的註解。
黃自元“九十二法”中，對楷書左右結構的字有四個大的法則：左旁小者齊其上，右旁小者齊其下，讓左者左昂右低，讓右者右伸左縮。顯然，這些法則都重質不重量，理論依據是我們在平衡感覺上的重右輕左。其實際意義是：左邊偏旁短小則左旁上靠，右邊偏旁短小則右旁下靠，因為無論是左旁小還是右旁小，都不可能真的一刀切成“齊其上”或者“齊其下”，否則就不協調，怎樣才最協調呢？根據黃金分割原理，左旁小的字應該是左旁的視覺重心對準右旁的上黃金分割點，右旁小的字右旁的視覺重心對準左旁的下黃金分割點。這既符合數學家的研究結論也符合傳統書法理論，但這又引出兩個有趣的問題：一是黃金分割比本身是無限不循環小數（大概美之極限確實無法用數字表示吧，如圓周率也是如此），其位置的確定我們在實踐中不可能先畫一個直角三角形，再者即使先畫一個三角形又怎樣確定偏旁的視覺重心呢，我想首先黃金分割點的位置可以憑我們的練習和美感來把握，其次在書寫過程中還能夠通過偏旁視覺重心的調節來使一個字更趨近於結構法則，比如右旁小的字，如果左旁已經完成，其下黃金點已確定，那么我們在寫右旁的時候可以通過上下位置、筆畫粗細的變化使其重心趨於與左旁下黃金點對齊。
關於偏旁重心的確定我想說明的是要區分字和偏旁的主要部分和次要部分，這一點前輩老師在講授回宮格時已有區分，主要部分對重心起決定作用，而次要部分更多的是對字起裝飾作用，如捺筆和垂露豎頓筆出鋒之前的部分一般都是主要部分，而頓筆後出鋒的部分對字和偏旁的重心和黃金分割的計算則影響不大（這一概念對字的結構意義也很大，如九十二法中“天覆者有畫皆於其下”，象大、天、定等字，捺的頓筆點均不應超出長橫和寶蓋的右收筆點，而出鋒部分卻可以）。
當然，上述的“左旁小”“右旁小”其實是指小且短的偏旁，對小而不短的偏旁（如木和亻旁），則適合將字的左右旁所站位置按黃金比劃分，同理，對上下結構而上下不均的字也按上大或下大按黃金比例書寫（即九十二法所謂的“中分而稍加繞宜”），如雕塑家雕塑最理想的人體比例。
二、黃金分割與鋼筆橫行書寫的章法
由於橫行書寫在人們日常套用中極為普遍，而漢字又大都是右下角收筆而左上角起筆，因此橫行書寫的章法一直讓人忌諱（這裡的章法不敢含毛筆自右而左的作品創作，而僅指日常套用的自左而右的章法，因此冠以“鋼筆”限制），九十年代，一批鋼筆書法專家對此展開了研討，有的認為應齊上線，有的認為應齊下線，還有的提出“中線貫通”之說，我想這個問題的解決，必須從美學原理、民族審美心理上加以反覆論證，並經得起實踐檢驗，才能為人們工作、生活中的書寫提供幫助。從根本上講，漢字書法的美是建立在穩定和平衡的審美心理基礎上的，從人的心理需求“五層次”理論來看，安全也是最基礎的層面，故必先有平正才能談變化。把一排字掛在頂線上給人的感覺當然不安全，千偏一律地把腳下切齊，如一排人死死地把雙腳踩在地上，雖然安穩但缺少動感，顯得呆板，這與藝術的審美屬性不符，中線貫通則既不安穩又有些呆板，從構圖上說，正中是一個很特殊的位置，每字的重心都取橫格中線也說不過去，而如果字的重心高於橫格中線則字又處於險地，這樣一來答案就開始明朗了，即：橫行的脈絡應在橫格中線與底線之間。那么具體應在什麼位置呢？顯然應在橫格高度的下黃金分割點上。這樣橫寫一行字，根據黃金原理，在橫格中視覺最美，從位置上分析既不失平穩又不顯死板，橫格的頂部也自然地留出了行間距。需要強調的是，位於這條黃金脈絡上的只是單個字的重心，而字的高矮肥瘦仍可隨章法節奏安排，筆畫形態也可以根據需要多姿多彩，不影響字型的選擇也不約束風格和個性。
就大師名作來看，無論是本文對結構法則的闡釋還是對鋼筆橫行書寫的探討，我們都會驚奇地發現，大師們在實踐中都已在不經意間展現運用了，這說明我們心目中的好字確實與前人的結構和數學法則相符。至於我的這點學習體會，對行家只起一點參照作用，對初學者恐怕在直觀上作用更大些。
（來源：博寶藝術網）
藝術作品
黃金比廣泛用於造型藝術中，具有美學價值，尤其在工藝美術和工業設計的長和寬的比(如書籍開本)設計中容易引起美感，故稱為黃金分割。20世紀中，法國建築師Le科布西埃發現黃金比具有數列的性質。他將其與人體尺寸相結合，提出黃金基準尺方案，並視之為現代建築美的尺度。法國還產生了冠名為黃金分割畫派的立體主義畫家集團，專注於形體的比例。
在實際運用中，黃金比多隻採用近似值。最簡單的方法是按照數列2、3、5、8、13、21……得出2:3、3∶5、5∶8、8∶13、13∶21等比值作為近似值。這種分割方法亦用於優選法。造型藝術中的一種分割法則。亦稱黃金分割率，簡稱黃金率。這種分割方法亦用於優選法。如圖,這些都是黃金分割率在藝術作品中的套用.
一、在畫中的套用
比如這幅作品，有一點“猶抱琵琶半遮面”的味道，作者把畫面中的焦點——荷花放在“黃金分割點”的位置，使得主體更加醒目，而花上的水珠更加襯託了荷花的美麗。荷花前面的綠葉用逆光勾畫出來並把它虛化使得它既沒有喧賓奪主，又使整個畫面具有立體感，背景的壓暗也使荷花更突出，使觀賞者有種愉悅的感覺。
二、在雕塑中的套用
中世紀義大利數學家菲波那契（以下稱“菲氏”）調查了大量人體數值後獲知，人體肚臍以下長度與身高之比接近0、618（頓號代表小數點），其中少數人的這個比值等於0、618，被視為“標準美人”。因此，在人體繪畫，美術，雕塑等方面，都以這一比例為標準，以使作品最佳。如古希臘神話中的太陽神阿波羅的形象，女神維納斯的塑像，分別代表男女健美體型，並完全符合黃金分割。人體肚臍不但是身高的黃金點。
三、在樂器藝術中的套用
我國的民族樂器多講究形體比例，從弦樂器的代表--古琴及打擊樂器的編磬的造型多遵循2∶3的比例，不難看出我們的古人本能地和直觀地從這樣的比例形式中得到滿足不難看出我們的古人本能地和直觀地從這樣的比例形式中得到滿足。如曾侯乙墓出土的公元前433年的十弦琴，是迄今為止發現最早的古琴，琴尾長25.8厘米，琴頭長41.2厘米，其比例為2∶3的關係(比值0.626) 。公元前168年的西漢，長沙馬王堆3號墓中的七弦琴，形式已接近現代的式樣，琴尾長31.6厘米，琴頭長50.8厘米，其比例也是2∶3（比值0.622）。2∶3的比例為美的理論根據是什麼？法國現代建築師勒·柯布席埃證實：人體各部分之間也存在黃金分割的比例關係。他把人體的數學圖解和造型設計的比例關係協調起來，為造型美學找到了科學依據。由此可見，民族樂器的造型比例關係除音響考慮外，還源於人類生理機能的協調運動及人對客觀事物和諧的心理要求，從中獲得美的享受。
四、在服裝藝術中的套用
裙子的長短指標線，超短裙的給人輕佻印象,長裙給人的守舊印象,合適長短設計體現優雅的淑女風範，膝裙似乎更加含蓄、現代，其設計也體現黃金分割的套用。
股票價格變化
通常，黃金分割法中的黃金點為0.618和0.382。但在股票價格漲幅與跌幅的測量中，用黃金分割法時除了用0.618和0.382作為反壓點外，其間還會用到0.382的一半這個點作為反壓點，即0.191這一點.這是股市中的實際，也可能是其特點。
因此， 當預測股價上升能力與可能反轉之價位時， 可用前段下跌行情之最低點值乘以0.191， 0.382， 0.618， 0.809， 1。當超過一倍的漲幅時，其反壓點為1.191，1.382，1.618，1.809，2，相仿當預測下跌反壓點時可乘以0.809，0.618， 0.382， 0.191。
例如，當下跌行情結束前，某股的最低價為10元， 那么， 股價反轉上升時，可預先計算出不同反彈價位：
10*(1+0.191)=11.9元 10*(1+0.382)=13.8元
10*(1+0.618)=16.2元 10*(1+0.809)=18.1元
10*(1+1)=20元 10*(1+1.191)=21.9元
當上升行情結束前，某股的最高價為30元，那么， 當股價反轉下跌時，下跌反壓點可能為：
30*(1-0.191)=24.3元 30*(1-0.382)=18.5元
30*(1-0.618)=11.5元 30*(1-0.809)=5.7元
