定義
設平麵點集D包含於R^2,若按照某對應法則f,D中每一點P(x,y)都有唯一的實數z與之對應,則稱f為在D上的二元函式.
且稱D為f的定義域,P對應的z為f在點P的函式值,記作z=f(x,y);全體函式值的集合稱為f的值域.
一般來說,二元函式是空間的曲面,如雙曲拋物面(馬鞍形)z=xy.
一致連續性
與聯繫性的定義相似
對於任意給定的ε>0,存在某一個正數δ,對於D上任意一點P0,只要P在P0的δ鄰域與D的交集內,就有|f(P0)-f(P)|<ε,則稱f關於集合D一致連續.>
一致連續比連續的條件要苛刻很多.
可微性
定義
設函式z=f(x,y)在點P0(X0,y0)的某鄰域內有定義,對這個鄰域中的點P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函式f在P0點處的增量△z可表示為:
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是僅與P0有關的常數,ρ=((△x)^2+(△y)^2)^0.5.o(ρ)是較ρ高階無窮小量,即當ρ趨於零是o(ρ)/ρ趨於零.則稱f在P0點可微.
可微性的幾何意義
可微的充要條件是曲面z=f(x,y)在點P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行於z軸的切平面Π的充要條件是函式f在點P0(x0,y0)可微.
這個切面的方程應為Z-z0=A(X-x0)+B(Y-y0)
A,B的意義如定義所示
