代數拓撲法

代數拓撲法概述是拓撲學中主要依賴代數工具來解決問題的方法，同調與同倫的理論是代數拓撲方法的兩大支柱。龐加萊(H.Poincare)首先建立了可剖分空間的同調，艾倫伯格(S.Eilenberg)和斯廷羅德(N.Steenrod)在20世紀中期倡導用公理法引進一般空間的同調群，促進了廣義同調論的發展。1935年胡爾維茨(W.Hurewicz)定義了同倫群。不論同調或同倫，都是通過函子來實現從幾何向代數的過渡，對於同調與同倫相互關係的深入探討，使同調代數這一工具迅速地發展。

20世紀30年代惠特尼發現與同調對偶的上同調在許多場合用起來比同調更為得力，萊夫謝茨、霍普夫、斯廷羅德發展了上同調運算的理論，使對應於幾何對象的代數對象有了更為豐富的結構。計算具體空間的同調群、上同調群、上同調運算等是代數拓撲的重要問題，所研究的空間首先是李群及與之有關的空間，塞爾在20世紀50年代初根據纖維叢具有的覆蓋同倫性質來定義纖維空間，並把1947年勒雷引入的譜序列用於奇異上同調群，對於決定各種空間的(上)同調的結構與同倫群等很有作用。具有連續乘法以及關於這個乘法的單位元素的拓撲空間叫做H空間，對於H空間的同調與同倫性質的研究，豐富了代數拓撲法的理論。20世紀60年代亞當斯充分利用了同調代數、上同調運算理論，廣義同調論等代數拓撲法，解決了許多問題，例如他指出除了n=2，4，8之外，n維歐氏空間不具備賦范代數結構。70年代以後，代數拓撲法仍然有多方面的進展，在廣義同調論，變換群作用下的共變同調與同倫論，無窮環道空間，有理同調論，同倫群指數估計，與微分拓撲有關的代數拓撲問題等方面都有豐碩的成果，目前一方面在其他數學分支、其他科學技術領域由代數拓撲法的套用日見廣泛與深入，另一方面其本身有許多重要問題尚未解決，或尚未徹底解決，所以代數拓撲法還將繼續發展和廣泛地套用到其他數學分支和科學技術領域。