三角剖分公式

邊形的三角剖分數).D(n 1.問題之假設 (1).

三角剖分公式
20世紀初,數學家烏拉班發現並證明了下面的公式,(Dn表示凸n邊形的三角剖分數).D(n+1)/Dn=（4n-6）/n.
1.問題之假設 所得三角形必須以原凸N 邊形之頂點為頂點。
2.問題之解決
(1).
首先，將一任意凸N 邊形頂點依逆時針順序標好A1,A2...An,我們考慮邊A1A2，它在任意一種分法中必與A3,...,An中某一點構成三角形，不妨設為Ai,此時{A2,A3,...,Ai}和{Ai,Ai+1,...,An,A1}構成一個凸i-1邊形和凸N-i+2邊形，這兩個凸多邊形再各自獨立的分割為三角形，分別是a(i-1)和a(N-i+2)種分法，於是當A1,A2,Ai構成一個三角形時，有a(i-1)*a(N-i+2)種分法，再令i=3,4,...,N遍歷其餘頂點，就得到我所說的遞推公式:
a(n)=a(2)*a(N-1)+a(3)*a(N-2)+...+a(N-1)*a(2)
其中a(2)=1, 純粹是為了形式整齊所引進的。
(2).
剩下的工作就是求解數列a(n),使其滿足所得通項公式,為此，我們構造無窮級數F(x)=a(2)x^2+a(3)x^3+...+a(n)x^n+...考察W(x)=F(x)*F(x)，顯然，W(x)中對x^n合併同類項為a(2)x^2*a(n-2)x^(n-2)+...+a(2)x^2*a(n-2)x^(n-2)，對照遞推公式，此即為a(n-1)x^(n-1),於是有
W(x)=a(3)x^4+a(4)x^5+...+a(n-1)x^n+...=x*[a(3)x^3+a(4)x^4+...+a(n)x^n+...]=x*[F(x)-x^2]
即有F(x)*F(x)-x*F(x)+x^3=0，由二次方程求根公式可得：
F(x)=(x/2)*[1-(1-4x)^(1/2)]
對上式右邊作泰勒展開，就得到a(n)通項公式，為
a(n)=2^(n-2)*1*3*...*(2n-5)/(n-1)! (n>2)