簡介
如果 V是在域 F上的向量空間， V的一般線性群，寫為GL( V)或Aut( V)，是 V的所有自同構的群，就是說所有自同構 V→ V的集合，和與之一起的函式複合作為群運算。如果 V有有限維 n，則GL( V)和GL( n, F)是同構的。這個同構不是規範的；它依賴於在 V中基的選擇。給定 V的一組基 ( e, ..., e)和GL( V)中自同構 T，則
一般線性群對於某些 F中的常量 a；對應於 T的矩陣就是由 a作為元素的矩陣。
以類似的方式，對於交換環 R群GL( n, R)可以被解釋為 n秩的自由 R-模的自同構的群。還可以對任何模定義GL( M)，但是這一般不同構於GL( n, R)（對於任何 n）。
定義
一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間，則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個群，稱為V上的一般線性群或全線性群，記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個群，稱為K上n次一般線性群，記為GL(K)或GL(n，K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL(K)，從而得到GL(V)到GL(K)上的一個同構。在這個意義下，可以將GL(V)與GL(K)等同起來。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
典型群
典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群，以及它們的換位子群、對中心的商群等統稱為典型群。實數域和複數域上的典型群是李群的重要例子，它們的構造及表示在李群理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起著重要作用。迪克森(Dickson，L.E.)通過對有限域上典型群的構造的研究得到了一大批有限單群.這是繼交錯群之後人們發現的又一批重要的有限單群系列。經過謝瓦萊(Chevalley，C.)的工作進一步擴展為有限李型單群的系列後，為有限單群分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné，J.)將迪克森的工作加以推廣，通過研究任意體上的典型群的構造也得到了大量的單群。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier，O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型群的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。
相似群
酉群
酉群是一類重要的典型群。在複數域的特殊情形，全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次酉群，記為U(n)。一般地，設K是帶有對合J：a→a-的體，V是K上n維列向量空間，f(x，y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型，這裡H∈GL(K)且=εH，ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax，Ay)=f(x，y)對所有的x，y∈V成立，則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子群，稱為關於f的酉群，記為U(K，f)。從矩陣的觀點看，U(K，f)={A∈GL(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U(K，f)就是辛群Sp(K，f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U(K，f)就是正交群O(K，f);當K是複數域，J是復共軛，H=I時，酉群U(K，f)就是酉群U(n)。
辛群
辛群是一類重要的群。辛空間的自同構群。設(V，ω)是一辛空間，若φ：V→V是線性同構且滿足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，則稱φ為(V，ω)的一個自同構.(V，ω)的自同構全體構成群GL(V)的一個子群，記為SP(V，ω)。特別地，標準辛空間(K，ω)的自同構群記為Sp(2n，K)。若K=R(實數域)，則把Sp(2n，K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛群。
正交群
正交群是一類重要的典型群。在實數域的特殊情形，全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次正交群，記為O(n)。一般地，設V是域K上n維列向量空間，Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣)，若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立，則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個群，稱為關於Q的正交群，記為O(K，Q).當K的特徵≠2時，V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交群：
一般線性群其中Q(x)=f(x，x)/2.當K是實數域，Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交群O(K，Q)就是O(n)。
