一般線性群

在數學中,一般線性群是指基域K上n×n 可逆矩陣全體組成的矩陣乘法群。 在任何域 F或環 R上的 n 次一般線性群是帶有來自 F(或 R)的元素的 n×n 可逆矩陣的群,帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F),如果域是自明的也可簡寫為 GL(n)。

簡介

如果 V是在域 F上的向量空間, V的一般線性群,寫為GL( V)或Aut( V),是 V的所有自同構的群,就是說所有自同構 V→ V的集合,和與之一起的函式複合作為群運算。如果 V有有限維 n,則GL( V)和GL( n, F)是同構的。這個同構不是規範的;它依賴於在 V中基的選擇。給定 V的一組基 ( e, ..., e)和GL( V)中自同構 T,則

一般線性群 一般線性群

對於某些 F中的常量 a;對應於 T的矩陣就是由 a作為元素的矩陣。

以類似的方式,對於交換環 R群GL( n, R)可以被解釋為 n秩的自由 R-模的自同構的群。還可以對任何模定義GL( M),但是這一般不同構於GL( n, R)(對於任何 n)。

定義

一般線性群亦稱全線性群。一類重要的典型群。若V是體K上n維右線性空間,則V上全體可逆線性變換在映射的乘法下構成一個群,稱為V上的一般線性群或全線性群,記為GL(V)。體K上全體n×n可逆方陣在矩陣乘法下構成一個群,稱為K上n次一般線性群,記為GL(K)或GL(n,K)。取定V在K上任一組基後可將每個g∈GL(V)對應一個矩陣A∈GL(K),從而得到GL(V)到GL(K)上的一個同構。在這個意義下,可以將GL(V)與GL(K)等同起來。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:

(1)封閉性,a·b∈G;

(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。

滿足交換律的群,稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。

1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

典型群

典型群是一類重要的群。一般線性群、酉群、辛群、正交群,以及它們的換位子群、對中心的商群等統稱為典型群。實數域和複數域上的典型群是李群的重要例子,它們的構造及表示在李群理論、幾何學、多複變函數論以至物理學中都起著重要作用。迪克森(Dickson,L.E.)通過對有限域上典型群的構造的研究得到了一大批有限單群.這是繼交錯群之後人們發現的又一批重要的有限單群系列。經過謝瓦萊(Chevalley,C.)的工作進一步擴展為有限李型單群的系列後,為有限單群分類的最後完成奠定了一個重要基礎。迪厄多內(Dieudonné,J.)將迪克森的工作加以推廣,通過研究任意體上的典型群的構造也得到了大量的單群。迪厄多內、施賴埃爾(Schreier,O.)、范·德·瓦爾登(Van der Waerden,B.L.)、華羅庚、萬哲先等對研究典型群的構造、自同構及同構作出了重要貢獻。

相似群

酉群

酉群是一類重要的典型群。在複數域的特殊情形,全體n×n酉方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次酉群,記為U(n)。一般地,設K是帶有對合J:a→a-的體,V是K上n維列向量空間,f(x,y)=x-Hy是V上非退化厄米特型或反厄米特型,這裡H∈GL(K)且=εH,ε=±1。若A∈GL(V)使f(Ax,Ay)=f(x,y)對所有的x,y∈V成立,則稱A是關於f的酉變換。關於f的全體酉變換組成GL(V)的一個子群,稱為關於f的酉群,記為U(K,f)。從矩陣的觀點看,U(K,f)={A∈GL(K)|HA=H}。當f是交錯雙線性型時U(K,f)就是辛群Sp(K,f);當K的特徵≠2且f是對稱雙線性型時U(K,f)就是正交群O(K,f);當K是複數域,J是復共軛,H=I時,酉群U(K,f)就是酉群U(n)。

辛群

辛群是一類重要的群。辛空間的自同構群。設(V,ω)是一辛空間,若φ:V→V是線性同構且滿足ω(φX,φY)=ω(X,Y),X,Y∈V,則稱φ為(V,ω)的一個自同構.(V,ω)的自同構全體構成群GL(V)的一個子群,記為SP(V,ω)。特別地,標準辛空間(K,ω)的自同構群記為Sp(2n,K)。若K=R(實數域),則把Sp(2n,K)簡記為Sp(2n)並稱它為2n維辛群。

正交群

正交群是一類重要的典型群。在實數域的特殊情形,全體n×n正交方陣在矩陣乘法下構成的群稱為n次正交群,記為O(n)。一般地,設V是域K上n維列向量空間,Q(x)=xAx是V上的非退化二次型(A是K上某個n×n矩陣),若g∈GL(V)使Q(gx)=Q(x)對所有的x∈V成立,則稱g是關於Q的正交變換。關於Q的全體正交變換在映射乘法下構成一個群,稱為關於Q的正交群,記為O(K,Q).當K的特徵≠2時,V上每個非退化對稱雙線性型f也決定一個正交群:

一般線性群 一般線性群

其中Q(x)=f(x,x)/2.當K是實數域,Q是單位二次型Q(x)=x·x時的正交群O(K,Q)就是O(n)。

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