定義
群作用
群作用 群作用 群作用若 為一個群而 為一個集合，則 在 上的一個(左) 群作用是一個二元函式
群作用
群作用
群作用
群作用(其中 和 的像寫作 )，滿足如下兩條公理：
群作用
群作用 群作用1. 對於所有 和 成立；
群作用 群作用
群作用 群作用2. 對於每個 成立 ( 代表 的麼元)。
群作用 群作用 群作用 群作用 群作用 群作用 群作用 群作用
群作用從這兩條公理，可以得出對於每個 ，映射 到 的函式是一個雙射，從 映射到 。因此，也可以將 在 上的群作用定義為從 到對稱群 的群同態。
群作用若群作用 給定，我們稱“G作用於集合X”或者 X是一個 G-集合。
群作用完全一樣地，可以定義一個 G在 X上的 右群作用為函式 ，滿足以下公理：
群作用
群作用
群作用
群作用
群作用
群作用 群作用
群作用注意左和右作用的區別僅在於象 這樣的積在 上作用的次序。對於左作用 先作用然後是，而對於右作用先作用然後是。從一個右作用可以構造一個左作用，只要和群上的逆操作複合就可以了。如果為一右作用，則
群作用是一左作用，因為
群作用而
群作用所以在這裡，我們只考慮左群作用，因為右作用可以相應推理。
群作用軌道
1.作用軌道
群作用
群作用 群作用
群作用
群作用 群作用 群作用 群作用設為目標集，群作用在上，，則集合稱為在作用下的一個軌道，為此軌道的代表元。
由軌道的定義可得如下性質 ，
群作用
群作用
群作用
群作用
群作用 群作用 群作用
群作用
群作用性質1：若在中定義二元關係為：存在，使，則是中的等價關係，且每一個等價類就是一個軌道。
群作用性質2：，即軌道中任意元素鬥魚資格作為代表元。
群作用 群作用
群作用性質3：構成的一個劃分，因而有。
2.穩定子群
群作用 群作用 群作用 群作用
群作用 群作用 群作用 群作用設群作用在上，，，若，則稱為的一個不動點（fixpoint）。以為不動點的所有群元素的集構成的子群
群作用 群作用稱為的穩定子群（ Stabilizer）。
關於穩定子群與其軌道關係有如下輕質：
1）軌道公式：
群作用2）同一軌道上的元素的穩定子群是互相共軛的：
群作用