一個自由度系統的線性振動

系統中構件的彈性服從胡克定律，運動時產生的阻尼力與廣義速度（廣義坐標的時間導數）的一次式成正比的振動。它通常是實際系統微幅振動的一個抽象模型。線性振動系統適用疊加原理，即如果在輸入x1作用下，系統回響為y1，而在輸入x2作用下，系統回響為y2，則系統在輸入x1和x2的聯合作用下的回響就是y1+y2。在疊加原理基礎上，可把一個任意的輸入分解為一系列微元衝量的和，然後求得系統的總回響；還可將一個周期激勵經傅立葉變換，展成一系列諧和分量之和，分別考察各諧和分量對系統的作用結果，再將它們疊加起來，就得到系統的總回響。因此，常參量線性系統的回響特性可用脈衝回響或頻率回響描述。脈衝回響指系統對單位衝量的回響，表征系統在時域內的回響特性。頻率回響指系統對單位諧和輸入的回響特性，表征系統在頻域內的回響特性。兩者由傅立葉變換確定對應關係。
單自由度系統的線性振動是可用一個廣義坐標來確定系統位置的線性振動。它是最簡單的振動，許多振動的基本概念和特徵可由此引出。它包括簡諧振動、自由振動、衰減振動和受迫振動。
多自由度系統的線性振動是自由度n≥2的線性系統的振動。圖1



圖1 多自由度系統

給出由耦合彈簧聯結的兩個簡諧振子系統。因為它是二自由度系統，所以要用兩個獨立坐標才能確定其位置。此系統存在兩個固有頻率：,，每個頻率對應一種振動形態。各簡諧振子進行同頻率的諧和振動，同步地通過平衡位置，又同步地到達極端位置，這種振動稱為主振動。在對應於ω1的主振動中，有x1=x2；在對應於ω2的主振動中，有x1=－x2 。在主振動中各質量的位移之比保持一個確定的關係，構成一個確定的振型，稱為主振型或固有振型。各主振型之間存在著關於質量與剛度的正交性，它反映各主振動之間的相互獨立性。固有頻率與主振型表征多自由度系統固有的振動特性。一個n自由度系統有n個固有頻率和n個主振型。系統的任何振動形態都可以表示成各個主振型的線性組合。因此，在多自由度系統動態回響分析中，廣泛採用主振型疊加法。於是，系統固有振動特性的測試和分析也就成為系統動態設計的一個常規步驟。多自由度系統的動態特性也可以用頻率回響描述。由於各輸入輸出之間都有一個頻率回響函式，從而構成一個頻率回響矩陣。頻率回響與主振型之間有確定的關係。和單自由度系統不同，多自由度系統的幅頻特性曲線有多個共振峰。
彈性體的線性振動是彈性體有無限多個自由度，因而具有無限多個固有頻率和無限多個主振型。彈性體的任何振動形態也可表示為各主振型的線性疊加。因而對於彈性體的動態回響分析，主振型疊加法仍然適用。以弦的振動為例。設單位長度質量為m的細弦，長l，兩端張緊 ，張力為T。弦的固有頻率fn=na/2l（n=1，2，3，…），式中a=（T/m），是橫波沿弦線方向的傳播速度。弦的各階固有頻率恰巧為基頻a/2l的整數倍 。這種整數倍關係導致悅耳的諧音結構。一般彈性體各階固有頻率並不存在這種整數倍關係。張緊弦的前三階振型如圖2



圖2 弦的1、2、3階主振型

所示。取一弦端為x軸原點 ，則對應第n階固有頻率fn的主振型為yn（x）=Asin（nπx/l），式中A為振幅。主振型曲線上有一些節點，弦的第n階主振型有n－1個節點。在主振動中，各節點不振動。彈性體的線性振動在數學上可歸結為偏微分方程的邊值問題。但只有在一些最簡單的情況下才能找到準確解，因而對於複雜的彈性體的線性振動問題必須求助於近似解法。各種近似解法的要旨是變無限為有限，也就是將無限多自由度系統（連續系統）離散化為有限多個自由度系統（離散系統）。工程分析中廣泛採用的離散化方法有兩大類：有限元法與模態綜合法。