基本介紹
邏輯
Λ 邏輯或交運算 若 A 為真且 B 為真，則命題 A ∧ B 為真；否則為假。n < 4∧n >2⇔n = 3，當 n 是自然數，是一種複雜的數學符號。有時也可標註在一個已知函式上用來定義一個經過變換的函式。
與命題邏輯，格理論
邏輯
一、 學習目標
⑴了解“或”“且”“非”“異或”的複合命題的構成；
⑵理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”“異或”的含義。
⑶判斷複合命題的真假。
教學重點：判斷複合命題的真假。
教學難點：對邏輯聯結詞“或”“且”“非”“異或”的含義的理解
二、 知識精講
（一）邏輯聯結詞
1．邏輯聯結詞“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯結詞。
2．簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題。
3．複合命題：由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題。
常用小寫的拉丁字母 p ，q ，r ，s ，……表示命題
故複合命題有三種形式：p或q；p且q；非p
4．邏輯聯結詞“或”“且”“非”與集合的“交”“並”“補”的關係：
複合命題的構成與集合理論之間的關係
⑴複合命題 p或q
設命題p所述範疇記為集合A
命題q所述範疇記為集合B
則複合命題：p或q所述範疇對應於集合A∪B，韋恩圖如圖1
⑵複合命題p且q
設：命題p所述範疇記為集合A
命題q所述範疇記為集合B
則複合命題：p且q 所述範疇對應於集合A∩B，韋恩圖如圖2
⑶複合命題：非P
設命題P所述範疇記為集合A，全集為U，則複合命題非P所述範疇對應於集合CuA。
韋恩圖如圖3
套用：
命題：非（P或q）對應於集合Cu(A∪B）。而（非P）且（非q）對應於集合（CuA）∩(CuB），由集合理論德摩根律：Cu(A∪B)=(CuA）∩（CuB），可以清楚看到，使學生更加深刻地認識到：非（P或q) （非P）且（非q）的正確性。
例1、將命題：若x+y≤0 則x≤0或y≤0改變成否命題。
解：其否命題為：若x+y>0 則x>0且y>0
例2、將命題：“菱形的對角互相垂直平分”改變成逆否命題。
解：其逆否命題為：對角線不垂直或不平分的四邊形不是菱形。
（二）判斷複合命題的真假
1．“非p”形式複合命題的真假可以用下表表示：
| p | 非p |
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
2．“p且q”形式複合命題的真假可以用下表表示：
| p | q | p且q |
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
3．“P或q”形式複合命題的真假可以用下表表示：
| p | q | P或q |
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
4．“P異或q”形式複合命題的真假可以用下表表示：
| p | q | P異或q |
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
註：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；
2°由真值表得：
“非p”形式複合命題的真假與p的真假相反；
“p且q”形式複合命題當p與q同為真時為真，其他情況為假；
“p或q”形式複合命題當p與q同為假時為假，其他情況為真；
“p異或q”形式複合命題當p與q同為真或同時為假時為假，其他情況為真；
4．判斷複合命題真假的步驟：
⑴把複合命題寫成兩個簡單命題，並確定複合命題的構成形式；
⑵判斷簡單命題的真假；
⑶根據真值表判斷複合命題的真假。
三、 難點分析
關於非命題
問題1：怎樣構造簡單命題的非命題?
非命題也叫命題的否定。非命題與原命題的真值相反。原命題為真，非命題為假；原命題為假，非命題為真。
對量詞和判斷詞的否定：判斷詞“是”的否定是“不是”；“有” 的否定是“沒有”；“存在”的否定是“不存在”。量詞“所有”的否定是“不所有”即“有的”；“每一個” 的否定是“至少有一個不”； “都是”的否定是“不都是”即“至少有一個不是”；“都不是”的否定是“不都不是”即“至少有一個是”。
對單稱命題的否定只要直接否定判斷詞。如“3是正數”的非命題就是“3不是正數”。對全稱命題的否定在否定判斷詞時還要否定全稱量詞變成特稱命題。對省略全稱量詞的全稱命題要補回全稱量詞再否定。如“整數是有理數”就是全稱命題“所有整數都是有理數”；它的非命題是“有的整數不是有理數”
對特稱命題的否定要否定特稱量詞變成全稱命題。如特稱命題“有的實數的平方不是正數” 的非命題是“所有實數的平方都是正數”；命題“所有的分數都是無理數”的非命題是“有的分數不是無理數”。
問題2：怎樣構造複合命題的非命題?
對複合命題的否定：“兩個命題的或命題”的否定是這“兩個命題的非命題的且命題”；“兩個命題的且命題”的否定是這“兩個命題的非命題的或命題”。
例如“3 >1或 2 <3”的非命題是”3 ≤1且2 ≥3”； “3>5或 2<3”的非命題是”3≤5且2≥3”； “3>5或 2<1”的非命題是”3≤5且2≥1”。該結論的邏輯表達式是：
⑴ 非（p或q） （非p）且（非q） ⑵非（p且q） （非p）或（非q），
這其實就是邏輯運算的摩根律；可用真值表證明如下：
⑴非（p或q） （非p）且（非q）
| 命題p | 命題q | p或q | 非（p或q） | 非p | 非q | （非p）且（非q） |
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
⑵非（p且q） （非p）或（非q）
| 命題p | 命題q | p且q | 非（p且q） | 非p | 非q | （非p）或（非q） |
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T |
| F | F | F | T | T | T | T |
3 複合命題“若P則q”形式的否定。 “若P則q”型命題的否定實質上較複雜，但在中學數學裡所研究的命題都是具有實質性蘊涵關係的命題，是具有真假性的命題，不能區分真假性的命題不作研究。
“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價命題。我們就此認為：命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習慣表 達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“儘管 P，然而非q”. 4 含量詞命題的否定。 數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”與“ ”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣？ 在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，並把量詞作用範圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 由此看來，要準確表達含量詞命題的否定，就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表：
詞語 是 一定是 都是大於 小於 且 詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小於或等於 大於或等於 或
詞語 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立 詞語的否定 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存在一個x不成立 存在有一個成立
5 命題的否定與否命題的區別。 命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：一，任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。二，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。原命題“若P則q” 的形式，它的否定命題在前面已講過，命題”若P則q”的否定為“P則非q”，且習慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“儘管P，然而非q”.；而它的否命題為“若非P，則非q”，（記為“若┓p，則┓q”）即是說既否定條件又否定結論。
[分析] 表明“解不等式”一類的命題可以有哪些形式上的更新和內容上的變化.結合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題，藉助集合的運算性質和四個命題的關係來作答，是以上命題的共同特徵，在求解時則主要以化歸思想為解題切入點.複習中對於此類問題要引起足夠的重視.
交運算
交運算
交運算（meet）即在格中求兩個元素的下確界的過程。
在布爾代數中，交運算相當於邏輯與運算。在集合論中，交運算相當於交集或並集運算。
定義變換函式
比如設函式f(t）滿足傅立葉變換條件，可定義其傅立葉變換為Λf(t)
取小運算
在模糊數學中，符號∧代表“取小”運算，反之∨代表“取大”運算.
即對任取的a,b∈{0,1},有：
a∧b=min {0,1}=0
a∨b=max {0,1}=1
宇宙函式
宇宙常數是愛因斯坦為了解釋物質密度不為零的靜態宇宙的存在，在場方程中引進一個與度規張量成比例的項，也就是一個常數﹐用符號Λ 表示。因為這個比例常數很小，即是在銀河系尺度範圍下也可忽略不計。而只有在宇宙尺度下，宇宙常數Λ 才可能有意義，所以叫作宇宙常數。
