基本介紹
GB系統亦稱NBG系統。公理集合論系統之一。由馮·諾伊曼在1925年提出，後經貝爾納斯和哥德爾改進、簡化後構成。與公理集合論ZF系統不同，GB系統中既有“集合”又有“類”。集合都是類，但類不都是集合，不是集合的類稱為“真類”，真類不能作為類的元素。就有關集合的命題而言，ZF系統和GB系統的推理能力是一樣的，GB系統是ZF系統的一個保守的擴充。GB系統與ZF系統是相對一致的，即GB系統是一致的，若且唯若，ZF系統是一致的 。
GB系統的五組公理
GB公理系統的公理分為五組：
A組公理：
1.cla(x)(任意集合x都是類)。
2.X∈Y→m(X)(類的任意元都是集合)。
3.(x∈X→x∈Y)→X=Y(類的外延公理)。
4.無序對公理。
B組公理(類的存在公理)：
1.存在一類E，它的元素都是有序對集合，並且該有序對的第一元屬於第二元。
2.對於任意類X，Y，都有一類Z，它為X和Y的交類。
3.對於任意類X，它的補也是一類。
4.對於任意類X，它的元素中有序對的第一元組成一類。
5.對於任意類X，它的元作為有序對的第一元，而第二元為任意的集合.所有這些有序對組成一類.
6.對於任意類X，它的逆X 也是一類.X 是這樣定義的：〈S，S〉∈X若且唯若〈S，S〉∈X 。
7.對於類X，存在類Y，使得對任意〈x，y，z〉∈X，若且唯若〈y，z，x〉∈Y。
8.對於類X，存在類Y，使得〈x，y，z〉∈X，若且唯若〈x，z，y〉∈Y。
C組公理(集合存在公理)：
1.無窮公理
2.並集公理
3.冪集公理
4.替換公理
D組公理：對於任意的不空類X，都有y∈X，使
y∩X=∅。
E組公理(選擇公理).
這個公理系統的最大特點是沒有公理模式，因此，它是一有窮公理系統.並且它規定真類不能作為類的元素。從而避免了以往的悖論 。
GB系統與ZF以及ZFC系統的比較
GB系統與ZFC系統
與ZFC系統相比，GB系統增添了類的概念及類的構成公理，從而具有兩大優點:(1)由於類的引入，因而可以自由地使用概括原理，(2)運用類的構成公理，可以證明GB系統中的一條很強的定理，由它可以導出置換公理模式與子集公理模式。因此GB系統是一個有限公理化系統，而ZFC卻是一個無限公理化系統。隨之可以得到：在GB系統中引進類的概念並增加類的構成公理後，並不增加產生悖論的危險。因為，可以證明GB關於ZFC是相對協調的。因而，如果ZF是協調的，那么ZFC也是協調的，GB也是協調的。進一步還可證明ZFC系統中的定理與GB系統中不包含類的定理完全一致。
GB系統與ZF系統
GB系統和ZF系統的不同，主要是: (1 )GB系統區分“集合”和“類”,能作其它集合或類的元素是集合，不能作其它的類的元素的類，叫做真類。 GB系統對類和集合使用兩種變元。(2 )GB系統的公理是有窮的。
在ZF系統和GB系統之間，若給出一一定的對應關係，則可有下述結果: (1)所有ZF系統的定理都是GB系統的定理，(2)GB系統中關於集合(不說及類)的定理都是ZF系統的定理；(8) ZF是協調的，若且唯若GB是協調的 。
