2013碩士學位研究生GCT數學模擬試題與解析
作者：劉慶華、關治、扈志明
圖書詳細信息：
ISBN：9787302316701定價：20元
印次：1-1
裝幀：平裝
印刷日期：2013-3-15
圖書簡介：
本書根據碩士學位研究生入學資格考試指南的要求，編寫了12套模擬試題.每套試題包含25道單項選擇題，其中算術、初等代數、幾何與三角三部分有15道題，一元函式微積分、線性代數兩部分有10道題.書中給出了每套模擬試題的答案與解析過程，供考生們參考.本書可供準備參加碩士學位研究生入學資格考試的備考人員以及輔導教師使用.
前言
本書是根據碩士學位研究生入學資格考試指南編寫的數學輔導材料，以方便考生備考.按照現在的複習備考方式，大致將複習的過程分為三個階段： 全面複習階段、歸納總結階段和衝刺階段.在每個階段考生所選用的輔導材料是有區別的.在全面複習階段，一般選用涵蓋考試大綱所涉及的知識點的教材（我們所編寫的《2013碩士學位研究生入學資格考試
GCT數學考前輔導教程》就是為此準備的），此階段的主要任務是將要考的知識點搞清楚、弄明白，掃清知識上的盲點.在歸納總結階段，是對前一階段所複習知識的濃縮和提升，以便於自己從全局上把握所複習的知識，突出重點和難點.由於各自的知識背景和複習效果不同，所以濃縮和提升的程度也不同，因此，這一階段可選擇的材料較少，一些輔導教師開設串講課來幫助備考者歸納總結，考生也可以根據自身特點，自己總結或提煉此階段的複習材料和複習方法．在衝刺階段，大多採取做模擬試題的方式，通過做模擬試題來檢查自己對知識點的掌握程度以及靈活運用所學知識處理問題的能力，同時也可以從中發現自己的薄弱點，以便及時調整複習的方式和方法.很多考生在第二階段就開始有針對性地做一些題目，幫助自己歸納總結，訓練提高．另外，也可以通過做模擬試題來熟悉試卷的出題方式和應對考試的一些措施及技巧．
為了便於考生檢驗全面複習階段的效果，順利、便捷地開展歸納總結階段的複習，我們在編寫《2013碩士學位研究生入學資格考試GCT數學考前輔導教程》的基礎上，編寫了本書，以幫助考生在備考階段準備得更加充分，提升應試能力，以利在考試中取得好的成績.
考試大綱中關於數學內容的考試要求是： 測試考生所具有的數學方面的基礎知識和基本思想方法，邏輯思維能力，數學運算能力，空間想像能力以及運用所掌握的數學知識和方法分析問題和解決問題的能力.據此，我們在模擬試題的選擇上，既考慮到試題的知識覆蓋面，又注意到難易程度，以利於考生通過做模擬試題能夠全面檢查對所複習知識的掌握程度.在模擬試題的設計上，既側重知識的重點和難點，也注意考查重點和難點的方式與方法，以便於考查考生對重點和難點的掌握程度以及對這些知識點的靈活運用情況.
根據考試指南的要求，我們在此模擬試題集中編寫了12套模擬試題.每套試題包含25道單項選擇題，其中算術、初等代數、幾何與三角三部分有15道題，一元函式微積分、線性代數兩部分有10道題.在書的後半部分給出了每套模擬試題的答案與解析過程，供考生們參考.
由於GCT在國內是一種類型比較新穎的考試，準備GCT考試與準備傳統的考試有所不同，為了使考生儘快地熟悉和掌握這一考試形式，對過去的考題做一點總結和分析是十分必要的．下面用表格的形式將過去10年中數學基礎能力測試題涉及的知識點
加以匯總，以便考生能夠清晰地了解考點的分布情況以及各考點的出題頻次，更有針對性地進行複習備考．
科目內容具體知識點出題年份
算術
數的概念與運算
數的概念與性質2003，2003，2009，2011
分數運算2003，2008，2011
比與百分數的運算2003，2004，2005，2006，2006，2007，2008，2010，2010，2011
算術表達式求值2003，2004，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2012
簡單套用問題
植樹問題2003，2004，2008
運動問題2004，2007，2008，2009，2011
求單位量與求總量的問題2004，2005，2012
其他問題2006，2012
初等代數
數與代數式
乘方、開方運算2003
絕對值的概念與性質2004，2011，2012
複數的基本概念與簡單運算2004，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012
簡單代數公式2005，2005，2007，2007，2011
集合與函式集合與函式的基本性質2003，2007，2009，2010，2010，2011，2012
代數方程和一元二次函式
一元二次方程2004，2006，2007，2008，2010
二元一次方程組2007
一元二次函式2003，2006，2008，2009，2012
不等式分式不等式2004，2012
數列等差數列，等比數列2005，2006，2009，2010，2011，2012
排列、組合、二項式定理組合公式2007，2008，2009
古典機率問題
等可能事件的機率2004，2005，2006，2008，2009，2010，2011，2012
簡單機率公式2003，2007
幾何與三角
平面幾何
求面積問題2003，2004，2005，2006，2006，2008，2009，2009，2011，2012
求長度問題2004，2004，2005，2010
求角度問題2004，2006，2007，2011
空間幾何圖形空間幾何體2003，2003，2005，2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012
三角函式特殊角的三角函式值2005，2007，2008，2009，2010，2012
續表
科目內容具體知識點出題年份
幾何與三角
平面解析幾何
平面直線問題2003，2003，2004，2006，2009，2010，2012
平面幾何與平面解析幾何的綜合題2005，2005，2007，2008，2010，2011
二次曲線問題2005，2006，2008，2009，2010，2011，2012
一元函式
微積分
函式、極限、連續
函式2005，2008，2009，2012
極限2005，2007，2009，2010，2011，2012
連續2007
導數與微分的概念與運算
基本概念2003，2005，2006，2008，2010，2011，2012
運算2004，2007，2009，2010，2012
導數的套用利用導數判定單調性、求極值2003，2003，2004，2005，2006，2006，2006，2007，2008，2008，2009，2010，2011，2012
不定積分分部積分與換元積分2005，2007
定積分
定積分的概念與性質2003，2005，2007，2009，2011，2011
定積分的運算2003，2004，2006，2006，2008，2008，2009，2010，2011，2012
定積分的套用2004，2004，2010
線性代數
行列式行列式的性質及計算2003，2004，2005，2007，2009，2012
矩陣
矩陣的運算與性質2003，2003，2005，2006，2008，2010，2011
逆矩陣2004，2007，2009，2011，2012
向量組
線性相關與線性無關2004，2006
秩與極大線性無關組2005，2008，2010
線性方程組
齊次線性方程組2003，2004，2006，2008
非齊次線性方程組2007，2009，2010，2011，2012
矩陣的特徵值和特徵向量
基本概念與運算2003，2005，2006，2008，2012
可對角化的充要條件2004，2007，2009，2010，2011
由於GCT考試是只有四選一這種形式的客觀題，考生除了複習好有關的內容，掌握基本的分析問題和解析問題的常用方法外，還應了解處理選擇題時的一些解題技巧．下面就以一些題目為例，簡要地介紹幾種技巧．
一、 排除法
由於在GCT考試中四個選項中有且僅有一個選項正確的，所以如果能將錯誤的排除，剩下的自然就是正確選項．大部分情況下，即使只排除掉一兩個錯誤選項，對找到正確選項也是很有幫助的．因此排除法是處理選擇題的一個有效方法．
1. (2006)矩陣
A=200
001
01x
,
B=200
0y0
00-1
,
若A的特徵值和B的特徵值對應相等，則其中．
(A) x=1,y=1
(B) x=0,y=1
(C) x=-1,y=0
(D) x=0,y=-1
由矩陣的特徵值的和等於其對角元素和的性質，以及A，B兩矩陣的特徵值相等可得
2+0+x=2+y-1,即x=y-1.
從而可得只有選項(B)，(C)滿足此條件，於是排除了選項(A)，(D).
如果選選項(C)，則矩陣B有零特徵值，故矩陣
A也應有零特徵值，由此可得矩陣A的行列式應等於零.但實際計算得|A|=-2，所以排除選項(C).故正確的選項為(B).
2. (2005)三個不相同的非零實數a,b,c成等差數列，又a,c,b恰成等比數列，則ab等於．
(A) 4(B) 2(C) -4(D) -2
根據條件可知c2=ab，從而ab>0，所以選項(C)，(D)錯誤．又2b=a+c，即2=ab+cb，且cb≠0，所以ab≠2，故選項(B)錯誤．即正確選項為(A)．
3. (2007)limx→1f(x)=4，則必定．
(A) f(1)=4
(B) f(x)在x=1處無定義
(C) 在x=1的某鄰域(x≠1)，f(x)>2
(D) 在x=1的某鄰域(x≠1)，f(x)≠4
取f(x)=2(x2-1)x-1排除選項(A)，取f(x)=4排除選項(B)，(D)．故正確選項為(C)．
二、 特殊值代入法
題目中給出的大多是一些滿足一定條件的變數或函式．對這些量成立的結論對滿足這些條件的特殊數或特殊函式自然也成立．通過選取合適的特殊值，將正確選項找出是處理選擇題的最有效方法之一．
1. 設a,b,m均為大於零的實數，且b>a，則a+mb+m與ab誰大？.
(A) 前者(B) 後者(C) 一樣大(D) 無法確定
對於此題，如果令a=1,b=2,m=1,及23>12，便知選項(A)正確．
2. (2008)
設
f(x)=
x,x>0，
1-x,x<0,
則有．
(A) f(f(x))=(f(x))2
(B) f(f(x))=f(x)
(C) f(f(x))>f(x)
(D)
f(f(x))<f(x)
此題中函式的定義域為（-∞,0）∪(0,+∞),我們可以取x的特殊值來加以判斷.比如取x=c>0,則f(c)=c>0,於是f(f(c))=f(c)=c.只要c≠1,則(f(c))2=c2≠c=f(f(c)).所以正確的選項為(B)．
3. (2005)設f(x)在點x=0處可導，且f1n=2n(n=1,2,…)，則f′(0)=．
(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3
作為選擇題，本題的簡單方法是取f(x)=2x，則f(x)滿足題中條件，且f′(x)=2，特別地有f′(0)=2．故選項(C)正確．
4. (2012)
若a,b,c分別為△ABC的三邊之長，則|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=
．
(A)a+b-c
(B) b+c-a
(C)3a-b-c
(D) 3c-a-b
既然這裡是對一般三角形來講的，那么，對於特殊的三角形自然成立.最簡單的三角形是各邊長均為1的等邊三角形.但這樣取時，區分不出各個選項.可取一個特殊的直角三角形，即各邊長分別為3，4，5的直角三角形.
取a=3,b=4,c=5，則
|a-b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|=|3-4-5|+|4-5-3|-|5-3-4|
=6+4-2=8,
a+b-c=3+4-5=2,b+c-a=4+5-3=6,
3a-b-c=3×3-4-5=0,3c-a-b=3×5-3-4=8.
故正確的選項為(D).
5. (2006)設n為正整數，在1與n+1之間插入n個正數，使這n+2個數成等比數列，則所插入的n個正數之積等於．
(A) (1+n)n2
(B) (1+n)n
(C) (1+n)2n
(D) (1+n)3n
取n=1，則數列為1,2,2，插入的數為2=(1+1)12．易知選項(A)正確．
6. (2007)行列式x101
01x1
1x10
101x展開式中的常數項為．
(A) 4(B) 2(C) 1(D) 0
行列式x101
01x1
1x10
101x的常數項是它在x=0時值，即0101
0101
1010
1010，由於此行列式的第一行與第二行相同，故其值為0．即選項(D)正確．
7. （2009）設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1和F2．若P是該雙曲線右支上異於頂點的一點，則以線段PF2為直徑的圓與以該雙曲線實軸為直徑的圓的位置關係是．
(A) 相離（B） 外切(C) 相交(D) 內切
作為選擇題，不妨選一特殊的雙曲線和特殊的P點．例如，取a=3，b=4，則右焦點F2為（5,0）．再取雙曲線右支上與F2具有相同橫坐標的一點P5，163，則以PF2為直徑的圓的圓心坐標為M5，83，半徑為83．以實軸為直徑的圓的圓心為O(0,0),所以兩圓圓心距離為
|OM|=52+832=32+2×3×83+832=3+83,
即兩圓圓心間的距離等於兩圓的半徑之和，所以兩圓相切．故（B）選項正確．
三、 選項代入法
對於選擇題來說，題目中的選項也包含許多可以利用的信息，比如將題中給出的選項代入題乾中進行驗證就是處理選擇題的一個常用方法．
1. (2004)設a,b,c均為正數，若ca+b<ab+c<bc+a，則．
(A) c<a<b(B) b<c<a(C) a<b<c(D) c<b<a
本題直接求解題乾中的分式不等式比較複雜，但如果將選項(A)代入題乾進行驗證則非常簡單．
2. (2005)設A=3-11
201
1-12，則A的對應於特徵值2的一個特徵向量是．
(A) 1
0
1(B) 1
-1
0
(C) 0
1
-1(D) 1
1
0
本題根據特徵值和特徵向量的定義，利用選項代入法易知正確選項為(D)．
3. ∫ex2+lnxdx=()+C (C為常數)．
(A) ex2(B) 12ex2(C) 2ex2(D) (1+2x2)ex2
由於(ex2)′=2xex2≠xex2，所以排除掉選項(A)； 由於12ex2′=xex2=ex2+lnx，所以選項(B)正確．
4. (2007)方程x+y-2+|x+2y|=0的解為．
(A) x=0
y=2(B) x=3
y=1(C) x=2
y=3(D) x=4
y=-2
易知
x=0,
y=2,x=3,
y=1與x=2
y=3
都不滿足題設方程，所以正確選項為(D)．
四、數形結合法
許多情形數與形是密切結合的．藉助圖形可以直觀地理解數（函式）所反映的內容，因此，可以將題目與題目中所涉及的函式所對應的圖形結合起來，尋找解題的捷徑.
1. 要使方程3x2+(m-5)x+m2-m-2=0的兩個實根分別滿足0<x1<1和1<x2<2，實數m的取值範圍是.
(A) -2<m<-1(B) -4<m<-1
(C) -4<m<-2(D) -3<m<1
這裡主要考查二次函式（方程）的性質．如果用一元二次方程根與係數的關係解題，比較煩瑣，我們不妨結合圖形解題．如例圖1所示，設
例圖1
f(x)=3x2+(m-5)x+m2-m-2，
則f(x)開口向上，與x軸交於（x1,0）和（x2,0）兩點，有不等式組
f(0)>0,
f(1)<0,
f(2)>0．
從而有m2-m-2>0,m2-4<0,m2+m>0．由此可確定出-2<m<-1．故應選(A).
2. (2011)
一個盛滿水的圓柱形容器，其底面半徑為1，母線長為3.將該容器在水平的桌面上平穩地傾斜使水緩慢流出.當容器中剩下的水為原來的
23
時，圓柱的母線與水平面所成的角等於．
(A) 75°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 30°
例圖2
此題給人的第一感覺是無從下手.但將題目轉化為圖形後，很快就可以找到解題思路.如例圖2所示，假想傾斜圓柱形容器使線段AC與水平的桌面平行，則顯然流出的水為原來容器內水的一半.受此啟發，可先找出當圓柱形容器直立放置時，總容積13處所對應的位置,即EF直線處(高為1的位置),則EF直線以上部分的容積為總容積的23.將容器傾斜使線段AE與水平的桌面平行,則流出的水為EF直線以上部分的容積的一半,即容器中剩下的水為原來的23.這時由題設知EF=2,
而AF=2,△AEF為直角三角形,所以∠EAF=45°.故正確的選項為(C).
例圖3
3. (2006)P(a,b)的第一象限內的矩形ABCD（含邊界）中的一個動點，A，B，C，D的坐標如例圖3所示，則ba的最大值與最小值依次是．
(A) pm,qn(B) qm,pn
(C) qm,qn(D) pm,pn
由例圖3可知，比值ba是直線OP的斜率，當點P與點A重合時取得最大值pm，當點P與點C重合時取得最小值qn，故正確選項為(A)．
4. (2009)在邊長為10的正方形ABCD中，若按例圖4(a)所示嵌入6個邊長一樣的小正方形，使得P，Q，M，N四個頂點落在大正方形的邊上，則這6個小正方形的面積之和是．
(A) 321625（B） 3015（C） 3245（D） 3045
本題初看似乎無從下手，但做出如例圖4(b)中所示的輔助線後，藉助所得到的一些全等直角三角形，可以很容易地看出這些全等直角三角形與正方形ABCD之間的關係，這樣問題就迎刃而解了．具體求解過程如下．
作如例圖4（b）所示的輔助折線，顯然所得的小直角三角形與直角△DMN及△BPQ全等．設小直角三角形的兩條直角邊的長度分別為a,b，則5b=10,5a+2b=10，所以b=2，a=65．從而a2+b2=3625+4=13625,所求面積之和是6×13625=321625．
故正確選項為(A)．
例圖4
從已舉行的10次GCT考試匯總情況來看，儘管25道題都是4選1的單項選擇題，但在45分鐘內完成這些題目，時間還是很緊張的．因此考生在做這些模擬試題時，最好按正式考試的要求來做，即在45分鐘內做完一套模擬試題，然後再核對答案，進行分析總結．而不要一遇到疑難問題就停下來，翻看答案和解析過程．這樣才能真正體現出模擬試題的效用．
由於編者的經驗和水平所限，書中難免會有疏漏和不足之處.歡迎廣大讀者、輔導教師及各方面的專家批評指正.
編者2013年3月
目錄
模擬試題（1）模擬試題（2）
模擬試題（3）
模擬試題（4）
模擬試題（5）
模擬試題（6）
模擬試題（7）
模擬試題（8）
模擬試題（9）
模擬試題（10）
模擬試題（11）
模擬試題（12）
模擬試題（1）答案與解析
模擬試題（2）答案與解析
模擬試題（3）答案與解析
模擬試題（4）答案與解析
模擬試題（5）答案與解析
模擬試題（6）答案與解析
模擬試題（7）答案與解析
模擬試題（8）答案與解析
模擬試題（9）答案與解析
模擬試題（10）答案與解析
模擬試題（11）答案與解析
模擬試題（12）答案與解析
