定義
高精度加法
高精度運算主要解決以下三個問題：
一、加數、減數、運算結果的輸入和存儲
運算因子超出了整型、實型能表示的範圍，肯定不能直接用一個數的形式來表示。在Pascal中，能表示多個數的數據類型有兩種：數組和字元串。
數組：每個數組元素存儲1位（在最佳化時，這裡是一個重點！），有多少位就需要多少個數組元素；用數組表示數的優點：每一位都是數的形式，可以直接加減；運算時非常方便。用數組表示數的缺點：數組不能直接輸入；輸入時每兩位數之間必須有分隔設定，不符合數值的輸入習慣；
字元串：String型字元串的最大長度是255，可以表示255位。Ansistring型字元串長度不受限制。用字元串表示數的優點：能直接輸入輸出，輸入時，每兩位數之間不必分隔設定，符合數值的輸入習慣；用字元串表示數的缺點：字元串中的每一位是一個字元，不能直接進行運算，必須先將它轉化為數值再進行運算；運算時非常不方便；
綜合以上所述，對上面兩種數據結構取長補短：用字元串讀入數據，用數組存儲數據：
var st:string;
x,y:array[0..255]of integer;{定義兩個數組,X和Y,用來儲存數}
i,j,l1,l2:integer;
begin
readln(st);
l1:=length(st);{------length(x),該函式是獲取字元串X的長度,返回為整型}
for i:=0 to 255 do x[i]:=0;{數組初始化，該句等價於‘fillchar（x,sizeof(x),o）；’，即給一數組整體賦值，但運行速度快於用‘for’語句對數組中的每一個數賦值}
for i:=l1 downto 1 do
x[l1-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');{------這裡是重點,把字元串轉換為數值,儲存在數組中}
readln(st);
l2:=length(st);{------length(x),該函式是獲取字元串X的長度,返回為整型}
for i:=0 to 255 do y[i]:=0;{數組初始化，該句等價於‘fillchar（y,sizeof(y),o）；’}
for i:=l2 downto 1 do
y[l2-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');{------這裡是重點,把字元串轉換為數值,儲存在數組中}
對字元串轉為數值原理補充:ord(x)-48,如果X="1",因為'1'的ASCLL碼是49,所以減去48就等於1,間接地把字元轉換為數值了,各位初手要好好體會.
二、運算過程
在往下看之前，大家先列豎式計算35+86。
注意的問題：
（1）運算順序：兩個數靠右對齊；從低位向高位運算；先計算低位再計算高位；
（2）運算規則：同一位的兩個數相加再加上從低位來的進位，成為該位的和；這個和去掉向高位的進位就成為該位的值；如上例：3+8+1=12，向前一位進1，本位的值是2；可藉助MOD、DIV運算完成這一步；
（3）最後一位的進位：如果完成兩個數的相加後，進位位值不為0，則應添加一位；
（4）如果兩個加數位數不一樣多，則按位數多的一個進行計算；
if l1<l2 then l1:=l2;
for i:=1 to l1 do
begin
x[i]:=x[i]+y[i];
x[i+1]:=x[i+1]+x[i] div 10;
x[i]:=x[i] mod 10;
end;
三、結果的輸出（這也是最佳化的一個重點）
按運算結果的實際位數輸出
var st:string;
x,y:array[0..255]of integer;
i,j,l1,l2:integer;
begin
readln(st);
l1:=length(st);
for i:=0 to 255 do x[i]:=0;
for i:=l1 downto 1 do
x[l1-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');
readln(st);
l2:=length(st);
for i:=0 to 255 do y[i]:=0;
for i:=l2 downto 1 do
y[l2-i+1]:=ord(st[i])-ord('0');
if l1<l2 then l1:=l2;
for i:=1 to l1 do
begin
x[i]:=x[i]+y[i];
x[i+1]:=x[i+1]+x[i] div 10;
x[i]:=x[i] mod 10;
end;
write('x+y=");
j:=255;
while x[j]=0 do j:=j-1;
for i:=j downto 1 do write(x[i]);
readln;
end.
四、最佳化：
以上的方法的有明顯的缺點：
（1）浪費空間：一個整型變數（-32768~32767）只存放一位（0~9）；
（2）浪費時間：一次加減只處理一位；
針對以上問題，我們做如下最佳化：一個數組元素存放四位數；（integer的最大範圍是32767，5位的話可能導致出界）將標準數組改為緊縮數組。第一步的具體方法：
l:=length(s1);
k1:=260;
repeat {————有關字元串的知識}
s:=copy(s1,l-3,4);
val(s,a[k1],code);
k1:=k1-1;
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
k1:=k1+1;
而因為這個改進，算法要相應改變：
（1）運算時：不再逢十進位，而是逢萬進位（mod 10000; div 10000);
（2）輸出時：最高位直接輸出，其餘各位，要判斷是否足夠4位，不足部分要補0；例如：1，23，2345這樣三段的數，輸出時，應該是100232345而不是1232345。
改進後的算法：
var a,b:string; k,i,c,d:longint; e,z,y:array[0..255]of integer;
begin
readln(a);
readln(b);
if length(b)>length(a) then for i:=1 to length(b)-length(a) do
a:="0'+a
else for i:=1 to length(a)-length(b) do
b:="0"+b;
for i:=length(a) downto 1 do
begin
c:=ord(a[i])-48;
d:=ord(b[i])-48;
if c+d<10 then e[i]:=e[i]+c+d else begin e[i]:=e[i]+c+d-10;e[i-1]:=1; end;
end;
if e[0]=1 then k:=0 else k:=1;
for i:=k to length(a) do
write(e[i]);
end.
C++參考程式：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
char a1[100],b1[100];
int a[100],b[100],c[100],lena,lenb,lenc,i,x;
memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); memset(c,0,sizeof(c)); gets(a1); gets(b1); //輸入加數與被加數 lena=strlen(a1); lenb=strlen(b1); for (i=0;i<=lena-1;i++) a[lena-i]=a1[i]-48; //加數放入a數組 for (i=0;i<=lenb-1;i++) b[lenb-i]=b1[i]-48; //加數放入b數組 lenc =1; x=0; while (lenc <=lena||lenc <=lenb) { c[lenc]=a[lenc]+b[lenc]+x; //兩數相加 x=c[lenc]/10; c[lenc]%=10; lenc++; } c[lenc]=x; if (c[lenc]==0) lenc--; //處理最高進位 for (i=lenc;i>=1;i--) cout<<c[i]; //輸出結果 cout<<endl;
return 0; }
高精度減法
和高精度加法相比，減法在差為負數時處理的細節更多一點：當被減數小於減數時，差為負數，差的絕對值是減數減去被減數；在程式實現上用一個變數來存儲符號位，用另一個數組存差的絕對值。
算法流程:(1).讀入被減數S1，S2（字元串）；
(2).置符號位：判斷被減數是否大於減數：大則將符號位置為空；小則將符號位置為“- ”，交換減數與被減數；
(3).被減數與減數處理成數值，放在數組中；
(4).運算：A、取數；
B、判斷是否需要借位；
C、減，將運算結果放到差數組相應位中；
D、判斷是否運算完成：是，轉5；不是，轉A；
(5).列印結果：符號位，第1位，循環處理第2到最後一位；
細節：▲如何判斷被減數與減數的大小？
如果位數一樣，直接比較字元串大小;否則，位數多的大。
k1:=length(s1); k2:=length(s2);
if k1=k2 then
if s1<s2 then begin fh:="-"; s:=s1;s1:=s2; s2:=s;end
else if k1<k2 then begin fh:="-";s:=s1;s1:=s2;s2:=s;end;{s1存被減數，fh存符號}
▲將字元串處理成數值：
l:=length(s1);{求出s1的長度，也即s1的位數；有關字元串的知識。}
k1:=260;
for i:=l downto 1 do
begin
a[k1]:=ord(s1[i])-48;{將字元轉成數值}
k1:=k1-1;
end;
k1:=k1+1;
▲運算（減法跟加法比較，減法退位處理跟加法進位處理不一樣）：
處理退位： 跟加法一樣，在for語句外面先將退位清零，用被減數再減去退位，{注意：由於每一個數位不一定都得向前一位借位，所以這裡退位得清零。例如，234-25，個位需借位，而十位不用} 接著，再判斷，當被減數某一位不夠減時，則需加上前一位退位過來的數。注意：由於這裡採用最佳化方法，所以退一位，就等於後一位加上10000。）最後，再拿一個數組來存儲兩個減數的差。
jw:=0;
for i:=260 downto k1 do
begin
a[i]:=a[i]-jw;{此處jw為從剛處理的那一位上從本一位上的借位}
jw:=0; {此處jw為I 位準備向高一位的借位}
if a[i]<b[i] then
begin
jw:=1;
a[i]:=a[i]+10000;
end;
c[i]:=a[i]-b[i]
end;
▲列印結果： 先找到差的第一個非零數，如果差的所有位數都為零，就直接輸出零； 如果不是，就輸出符號位和差的第一位。剩下部分，列印補足零；因為最佳化後的高精度減法,是把每四個數位分成一段,而每一段則必須有四個數,當有一段不足四個數時,就得用"0"補足.(如:第一位是'1',第二位是'34',第三位是'345',第四位是'8', 則應寫為'').注意:第一位不用補零,(如:第一位為'3',則寫成'3').
while (c[k]=0) and (k<=260) do k:=k+1;
if k>260 then write('0')
else begin
write(fh,c[k]);{k是差的第1位；}
for i:=k+1 to 260 do
begin
if c[i]<100 then write('0');
if c[i]<10 then write('0');
write(c[i]);
end;
end;
參考程式：
program ZDloveQC;
var s1,s2,s3,s4,s:string;
a,b,c:array[1..260]of integer;
i,k1,k2,l,code,jw:longint;
fh:string;
begin
readln(s1); readln(s2);
k1:=length(s1); k2:=length(s2); fh:="";
if k1=k2 then
if s1<s2 then begin fh:="-";s:=s1; s1:=s2; s2:=s; end；
if k1<k2 then begin fh:="-";s:=s1; s1:=s2; s2:=s; end;
k1:=260;
l:=length(s1);
repeat
s3:=copy(s1,l-3,4);
val(s3,a[k1],code);
dec(k1);
s1:=copy(s1,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
inc(k1);
l:=length(s2);
k2:=260;
repeat
s4:=copy(s2,l-3,4);
val(s4,b[k2],code);
dec(k2);
s2:=copy(s2,1,l-4);
l:=l-4;
until l<=0;
inc(k2);
jw:=0;
for i:=260 downto k1 do
begin
a[i]:=a[i]-jw;
jw:=0;
if a[i]<b[i] then
begin
jw:=1;
a[i]:=a[i]+10000;
end;
c[i]:=a[i]-b[i];
end;
while (c[k1]=0)and(k1<260) do inc(k1);
if k1>260 then writeln('0')
else begin
write(fh,c[k1]);
for i:=k1+1 to 260 do
begin
if c[i]<1000 then write('0');
if c[i]<100 then write('0');
if c[i]<10 then write('0');
write(c[i]);
end;
end;
end.
C++參考程式：
#include<stdio.h>
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
int const n=1000;
typedef int arr[n];
int c[2*n+1]={}, i,j,k; arr a,b;void dushu(arr &s){int i=0,j,k,m;<br/> char b[400],ch;<br/> scanf("%c",&ch);<br/> while ((ch>=48)&& (ch <=57) )<br/> { i=i+1;<br/> b[i]=ch;<br/> scanf("%c",&ch);<br/> } k=0; for(j=i; j>=1; j=j-1) { k=k+1; s[k]=b[j]-48; } }void shuchu(int c[n]) { int i=n; j=0; while ((c[i]==0) && (i>1)) i--; for (j=i; j>0; j--) printf("%d",c[j]); printf("\n"); } bool compare(arr &a,arr &b){ int i,j,k; for (i=n; i>0; i--) { if (a[i]>b[i]) {return true;} else if (a[i]<b[i]) {return false;}; } } void change(arr &a, arr &b) { int i,t; for(i=1; i<=n; i++) { t=a[i]; a[i]=b[i]; b[i]=t; } } void jiafa(arr a,arr b) {int i,j,k,m,s,t=0;<br/> for (i=1; i<=n+1; i++)<br/> {<br/> s=a[i]+b[i]+t; <br/> c[i]=s % 10;<br/> t=s / 10;<br/> } shuchu(c); } void jianfa(arr &a, arr &b) { int i,j,k,s; memset(c,0,2*n+1); for (i=1; i<=n; i++) { if (a[i]>=b[i]) c[i]=a[i]-b[i]; else { c[i]=a[i]-b[i]+10; a[i+1]--; } } shuchu(c); }void chengfa(arr a, arr b) { int i,j,k,m; memset(c,0,2*n+1); for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) { m=i+j-1; c[m]=a[j]*b[i]+c[m]; c[m+1]=c[m] / 10; c[m]=c[m]% 10; } shuchu(c); } main(){ dushu(a); dushu(b); jiafa(a,b); if (!compare(a,b)) { printf("%c",'-'); change(a,b); } jianfa(a,b); chengfa(a,b); system("pause"); return 0;}
單精度乘法
單精度乘法是計算範圍次於高精度乘法的一種運算，只是運算效率比高精度計算略高。
單精度乘法過程樣例：
const
maxcount=進制位
maxlen=記錄高精度數組大小
procedure mulnum(a:bignum;x:longint;,var c:bignum);
var
i:longint;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);c[0]:=a[0];
for i:=1 to c[0] do c[i]:=a[i]*x;
for i:=1 to c[0] do {進位}
begin
inc(c[i+1],c[i] div maxcount);
c[i]:=c[i] mod 10;
end;
while c[c[0]+1]>0 do
begin
inc(c[0]);
inc(c[c[0]+1],c[c[0]] div maxcount);
c[c[0]]:=c[c[0]] mod maxcount;
end;
end;
高精度乘法
高精度乘法基本思想和加法一樣。其基本流程如下：
①讀入被乘數s1，乘數s2
②把s1、s2分成4位一段，轉成數值存在數組a,b中；記下a,b的長度k1,k2；
③i賦為b中的最低位；
④從b中取出第i位與a相乘，累加到另一數組c中；（注意：累加時錯開的位數應是多少位？）
⑤i:=i-1；檢測i值：小於k2則轉⑥,否則轉④
⑥列印結果
參考程式：
program chengfa;
const n=100;
type ar=array [1..n] of integer;
var a,b:ar; k1,k2,k:integer;
c:array [1..200] of integer;
s1,s2:string;
procedure fenge(s:string;var d:ar; var kk:integer); {將s分割成四位一組存放在d中，返回的kk值指向d的最高位}
var ss:string;
i,code:integer;
begin
i:=length(s);
kk:=n;
repeat
ss:=copy(s,i-3,4);
val(ss,d[kk],code);
kk:=kk-1;
s:=copy(s,1,i-4);
i:=i-4;
until i<0;
kk:=kk+1;
end;
procedure init;
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do begin a:=0; b:=0; end;
for i:=1 to 2*n do c:=0;
write('input 2 numbers:');
readln(s1);
readln(s2);
fenge(s1,a,k1);
fenge(s2,b,k2);
end;
procedure jisuan;
var i,j,m:integer; x,y,z,jw:longint;
begin
i:=n; k:=2*n;
repeat
x:=b; z:=0; m:=k; jw:=0;
for j:=n downto k1 do
begin
y:=a[j];
z:=c[m];
x:=x*y+z+jw;
jw:=x div 10000;
c[m]:=x mod 10000;
m:=m-1;
x:=b;
end;
if jw<>0 then c[m]:=jw else m:=m+1;
i:=i-1;
k:=k-1;
until i<k2;
k:=m;
end;
procedure daying;
var i:integer;
begin
write(c[k]);
for i:=k+1 to 2*n do
begin
if c<1000 then write('0');
if c<100 then write('0');
if c<10 then write('0');
write(c);
end;
writeln;
end;
begin
init;
jisuan;
daying;
end.
教材“基礎編”P87高精乘法參考程式：
program ex3_1;
var
a,b,c:array[0..1000] of word;
procedure init;
var
s:string;
ok,i,j:integer;
begin
readln(s);
a[0]:=length(s);
for i:=1 to a[0] do
val(s[a[0]-i+1],a,ok);
readln(s);
b[0]:=length(s);
b[0]:=length(s);
for i:=1 to b[0] do
val(s[b[0]-i+1],b,ok);
end;
procedure highmul;
var i,j,k:integer;
begin
c[0]:=a[0]+b[0];
for i:=1 to b[0] do
for j:=1 to a[0]+1 do
begin
inc(c[i+j-1],a[j]*b mod 10);
c[i+j]:=c[i+j]+(a[j]*b div 10)+(c[i+j-1] div 10);
c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
end;
end;
procedure print;
var i:integer;
begin
while c[c[0]]=0 do dec(c[0]);
for i:=c[0] downto 1 do
write(c);
writeln;
end;
begin
init;
highmul;
print;
end.
C++參考程式：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; int main() { char a1[100],b1[100]; int a[100],b[100],c[100],lena,lenb,lenc,i,j,x; memset(a,0,sizeof(a)); memset(b,0,sizeof(b)); memset(c,0,sizeof(c)); gets(a1);gets(b1); lena=strlen(a1);lenb=strlen(b1); for (i=0;i<=lena-1;i++) a[lena-i]=a1[i]-48; for (i=0;i<=lenb-1;i++) b[lenb-i]=b1[i]-48; for (i=1;i<=lena;i++) { x=0; // 用於存放進位 for (j=1;j<=lenb;j++) // 對乘數的每一位進行處理 { c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1]; // 當前乘積 + 上次乘積進位 + 原數 x=c[i+j-1]/10; c[i+j-1] %= 10; } c[i+lenb]=x; // 進位 } lenc=lena+lenb; while (c[lenc]==0&≤nc>1) // 刪除前導 0 lenc--; for (i=lenc;i>=1;i--) cout<<c[i]; cout<<endl; return 0; }
高精度除法
高精度除法：
1）.高精度除以整型數據(integer);
程式如下:
program HighPrecision3_Multiply1;
const
fn_inp="hp5.inp";
fn_out="hp5.out";
maxlen=100; { max length of the number }
type
hp=record
len:integer; { length of the number }
s:array[1..maxlen] of integer
{ s[1] is the lowest position
s[len] is the highest position }
end;
var
x,y:hp;
z,w:integer;
procedure PrintHP(const p:hp);
var i:integer;
begin
for i:=p.len downto 1 do write(p.s[i]);
end;
procedure init;
var
st:string;
i:integer;
begin
assign(input,fn_inp);
reset(input);
readln(st);
x.len:=length(st);
for i:=1 to x.len do { change string to HP }
x.s:=ord(st[x.len+1-i])-ord('0');
readln(z);
close(input);
end;
procedure Divide(a:hp;b:integer;var c:hp;var d:integer);
{ c:=a div b ; d:=a mod b }
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=a.len;
d:=0;
for i:=len downto 1 do { from high to low }
begin
d:=d*10+a.s[i];
c.s:=d div b;
d:=d mod b;
end;
while(len>1) and (c.s[len]=0) do dec(len);
c.len:=len;
end;
procedure main;
begin
Divide(x,z,y,w);
end;
procedure out_;
begin
assign(output,fn_out);
rewrite(output);
PrintHP(y);
writeln;
writeln(w);
close(output);
end;
begin
init;
main;
out_;
end.
2）.高精度除以高精度
程式如下:
版本一：
版本二：
高精度階乘
作為一種高精度乘法的擴展算法，實質為高精度乘低精度，算法如下： var
a:array[1..10000] of longint;
i,j,k,l,p,o,q,x,y,w:integer;
begin
read(i);
a[1]:=1;
w:=1;
for j:=1 to i do
begin
y:=0; //到“For”前可省，但改為for k:=1 to 10000 do
x:=j;
while x>0 do
begin
y:=y+1;
x:=x div 10;
end;
o:=0;
for k:=w to l+y+1 do
begin
q:=a[k]*j+o;
o:=q div 10;
a[k]:=q mod 10;
end;
l:=10000;
while (a[l]=0) and (l>1) do l:=l-1;
w:=1;
while (a[w]=0) and (w<9999) do w:=w+1;
end;
for p:=l downto 1 do
write(a[p]);
writeln;
end.
C++的優雅實現
我們知道，C++是一個面向對象的語言。上述所有代碼的實現都是面向過程的，都是以高精度運算為主體進行編程。然而，在實際套用中，高精度通常只作為程式的一部分而出現，在這樣的情況下，上述代碼難以直接移植、使用的特性暴露無遺。我們用C++的面向對象編程特性來做一次非常好用的高精度。
實現
我們使用標準庫vector做基類，完美解決位數問題，同時更易於實現。
高精度類型Wint包含一個低精度轉高精度的初始化函式，可以自動被編譯器調用，因此無需單獨寫高精度數和低精度數的運算函式，十分方便；還包含了一個在各類運算中經常用到的進位小函式。
輸入輸出
平淡無奇，有很多讀入的方法。這裡偷個懶，直接讀入一個字元串再轉入Wint中。
大小比較
比較，只需要寫兩個，其他的直接代入即可。值得注意的是，這裡用常量引用當參數，避免拷貝更高效。
加法
加法，先實現+=，這樣更簡潔高效。注意各個參數有別。
減法
減法，返回差的絕對值，由於後面有交換，故參數不用引用。
乘法
乘法不能先實現*=，原因自己想。
除法和取模
除法和取模先實現一個帶餘除法函式。當然，高精度除法也可以用二分檔案法實現，不過效率過低且代碼冗長，這裡使用常規豎式除法。
使用
通過重載運算符，還可以實現++、--、^、!、邏輯運算符等很多運算，十分簡單，此處都不寫了。
此時你幾乎可以像int一般便捷地使用Wint，甚至可以把Wint和int混合使用。
順手實現一個快速冪，可以看到和普通快速冪幾乎無異。
最佳化與改進
上述高精度代碼已經能滿足正常使用需求了，不過仍然有最佳化和改進的空間：
一、萬進制最佳化
用int保存個位數顯然太過浪費，short型運算效率又沒有int型高（絕大部分機器對int有特別最佳化），在這樣的情況下，我們將改進後的Wint每位保存十進制下的四位（首位可能有前導0）即萬進制。在這樣的最佳化下，空間占用四分之一，加法快4倍，乘法16倍，而除法可達64倍之多。當然，這仍屬於常數級最佳化，不過底層運算十分頻繁的情況下還是值得考慮的。上述代碼無需作出太大調整，只需輸入輸出、進位、減法除法等函式略加改進即可，代碼略。
二、低精度最佳化
前面說過，目前高精度和低精度的運算會先將低精度提升到高精度再進行運算，這就有了最佳化空間。注意，這裡的最佳化低精度是基於Wint是由int組成這一特點進行的，大於int型的別的類型（如long long）仍需提升到Wint再運算。考慮到低精度數位數在十位以內，最佳化後效率提升其實不到十倍。不過，在高精度和低精度混合運算十分頻繁的情況下，專門寫最佳化的高精度和低精度的運算也聊勝於無。這裡先給出加法的最佳化示例。
三、初始化函式改進：
注意到初始化函式Wint(int n)會將大於int表示範圍的類型數如（unsigned long long）先轉為低精度再初始化，我們再增加（或者直接替換原先的）初始化函式，改為：
此外，在代碼中如果想定義到一個高精度常量（20位向上），就必須增加一個字元串初始化函式而不能直接賦一個整型常數（想想為什麼？）。但是，這個字元串初始化函式我們希望它不會像int型一樣在運算中自動提升至Wint。否則，像s+7這樣的表達式就會有意義（先將s隱形轉換至Wint再進行加法運算，返回一個Wint型結果），但通常不符合我們的預期而僅僅只是代碼錯誤，而編譯時無法找出，會給我們調試代碼帶來很大麻煩。所以，這個字元串初始化函式前需加關鍵字explicit，來指出我們不希望隱式轉換的發生。
