定理說明
高歐拉商數（highlytotientnumber）k是有以下性質的正整數：使方程式φ(x)=k有m個解，其中φ是歐拉函式，m為正整數，而且若k用其他較小的整數代入時，解的個數都會小於m。
例如方程式φ(x)=k，在k=1,2,3,4,5,6,7,8時，分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解（在k為大於1的奇數時，φ(x)=k的解不存在），φ(x)=8有5個解，若代入小於8的數值，解都少於5個，因此8是高歐拉商數。
頭幾個高歐拉商數是：
1,2,4,8,12,24,48,72,144,240,432,480,576,720,1152,1440（OEIS中的數列A097942）.
分別使上述方程有1,3,4,5,6,10,11,17,21,31,34,37,38,49,54及72個解。若將使φ(x)=k分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列，則高歐拉商數會是此數列的一個子集。例如8為高歐拉商數，φ(x)=8有5個解，表示任何小於8的整數都無法使φ(x)=k有5個解，因此8是使φ(x)=k有5個解的最小k值。
相關聯繫
高歐拉商數的概念有點類似高合成數；1既是高合成數中唯一的奇數，也是高歐拉商數中唯一的奇數（其實1是歐拉函式值域中唯一的奇數）。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個，不過隨著數字的增加，要找到高歐拉商數也就越來困難，因為歐拉商數和質因子分解有關，數字越大，就越難進行質因子分解。
