介紹
高斯-勒讓德算法是一種用於計算π的算法。它以迅速收斂著稱，只需25次疊代即可產生π的4500萬位正確數字。不過，它的缺點是記憶體密集，因此有時它不如梅欽類公式使用廣泛。
該方法基於卡爾·弗里德里希·高斯（1777–1855）和阿德里安-馬里·勒讓德（1752–1833）的個人成果與乘法和平方根運算的現代算法的結合。該算法反覆替換兩個數值的算術平均數和幾何平均數，以接近它們的算術-幾何平均數。
下文的版本也被稱為 高斯-歐拉，布倫特-薩拉明（或薩拉明-布倫特）算法；它於1975年被理察·布倫特和尤金·薩拉明獨立發現。日本筑波大學於2009年8月17日宣布利用此算法計算出π小數點後2,576,980,370,000位數字，計算結果用波溫算法檢驗。
知名的計算機性能測試程式Super PI也使用此算法。
算法
設定初始值：
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法反覆執行以下步驟直到 與 之間的誤差到達所需精度：
高斯-勒讓德算法則π的近似值為：
高斯-勒讓德算法下面給出前三個疊代結果（近似值精確到第一個錯誤的位數）：
3.140...
3.14159264...
3.1415926535897932382...
該算法具有二階收斂性，本質上說就是算法每執行一步正確位數就會加倍。
數學背景
算術-幾何平均數的極限
a和b兩個數的算術-幾何平均數，是通過計算它們的序列極限得到的：
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法兩者匯聚於同一極限。
若 a=1且
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法若，則
高斯-勒讓德算法其中E(k)為第二類完全橢圓積分：
高斯-勒讓德算法高斯知道以上這兩個結果。
勒讓德恆等式
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法對於滿足的與，勒讓德證明了以下恆等式：
高斯-勒讓德算法高斯-歐拉法
高斯-勒讓德算法
高斯-勒讓德算法的值可以代入勒讓德恆等式，且K、E的近似值可通過的算術-幾何平均數的序列項得到。
