零點定理[函式定理]

如果函式y= f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)

零點定理[函式定理]

證明：不妨設，f(b)>0.令

E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b為E的一個上界，於是根據確界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下證f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此時必有ξ∈(a,b).）.事實上，

(i)若f(ξ)<0,則ξ∈[a,b).由函式連續的局部保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

這與supE為E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0,則ξ∈(a,b].仍由函式連續的局部保號性知

存在δ>0,對x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1為E的一個上界，且x1<ξ,

這又與supE為E的最小上界矛盾。

綜合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理 。