作品信息
作品名稱：《隙積術和會圓術》
作者：沈括
出自： 《夢溪筆談》
作品原文
算術求積尺之法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬之類，物形備矣，獨未有隙積一術。
古法：凡算方積之物，有立方，謂六幕皆方者，其法再自乘則得之。有塹堵，謂如土牆者，兩邊殺，兩頭齊。其法並上下廣折半以為之廣，以直高乘之。又以直高為股，以上廣減下廣，余者半之為勾，勾股求弦，以為斜高。有芻童，謂如覆斗者，四面皆殺。其法倍上長加入下長，以上廣乘之，倍下長加入上長，以下廣乘之，並二位，以高乘之，六而一。
隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及酒家積罌之類。雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失於數少。予思而得之：用芻童法為上位，下位別列，下廣以上廣減之，余者以高乘之，六而一，併入上位。（假令積罌：最上行縱橫各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，併入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二，又倍下行長得二十四，併入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二，並二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，餘十，以高乘之，得一百一十，併入上位，得三千八百九十四。六而一，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也。）
履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術。凡圓田，既能拆之，須使會之復圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。予別為拆會之術：置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數，余者為股，各自乘，以股除弦，余者開方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之數自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。（假令有圓田，徑十步，欲割二步，以半徑為弦，五步自乘得二十五，又以半徑減去所割二步，餘三步為股，自乘得九，用減弦外，有十六，開平方，除得四步為勾，倍之為所割直徑。以所割之數二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數，無可除，只用四尺加入直徑，為所割之弧，凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法，如圓徑二十步求弧數，則當折半，乃所謂以圓徑除之也。）此二類皆造微之術，古書所不到者，漫志於此。
作品譯文
算術中求物體體積的方法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬等，各種物體的形狀都齊備了，唯獨沒有隙積這一種算法。古代的算法，凡是計算物體的體積，有立方體，是指六個面都是正方形的物體。它的計算方法是把一條邊自乘兩次就求得了。有塹堵，是指像土牆一樣的形狀的物體，兩個牆面是斜的，兩頭的面是直立的。它的截面積的算法是把上、下底面的寬相加，除以二，作為截面的寬，用直高與它相乘即得。再把直高作為股，用上底面的寬減去下底面的寬，得到的差數除以二作為勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜邊長。有芻童，是說像倒扣在地上的斗那樣的形狀，四個側面都是斜面。它的計算方法是：把上底面的長乘以二，加下底面的長，再用上底面的寬乘它，把下底面的長乘以二，加上底面的長，再用下底面的寬乘它；加上這二項，用高乘它們，再取其六分之一，就得到了它的體積。隙積是指體積有空隙的堆垛體，像壘起來的棋子、分層築造的土壇和酒店裡堆起的酒罈一類的東西。它們雖然像倒扣的斗，四個側面也都是斜的，但由於邊緣有殘缺和空隙的地方，如果用芻童法來算它，得出的數目常常比實際的少。我想出了一種算法：用芻童法計算出它的上位、下位，再列出它的下底寬，減去上底寬，把這一差數乘以高，取其六分之一，併入前面的數目即可以了。（如果有堆垛的酒罈子，最上層長、寬都是兩隻罈子，最下層長、寬都是十二隻罈子，一層層相錯開垛好。先從最上層數起；數到有十二隻罈子處，正好是十一層。用芻童法來算，把上層的長乘以二得四，加下層的長得十六，用上層的寬來乘它，得三十二。又把下層的長乘以二得二十四，加上上層的長得二十六，用下層的寬來乘它，得三百一十二。上、下兩位相加，得三百四十四，乘以高得三千七百八十四。另外把下層的寬十二減去上層的寬，得十，與高相乘，得一百一十。加上前面的數字得三千八百九十四。取其六分之一，得六百四十九。這就是酒罈子的數目。用芻童法算出的是“實方”的體積，用隙積法算出的是截剩部分拼合成的體積，可以求出多餘的體積。）丈量土地的算法，方、圓、曲、直的都有了，但沒有會圓的算法。凡是圓形土地，既能夠拆開它，又必須使它合起來能恢復圓形。古代的算法只是用“中破圓法”拆開來計算，其誤差有達三倍的。我另外設計了一種拆開、會合的方法：設定一塊圓形土地，以其直徑的一半作為弦；再從半徑減去所割下的弧形的高，它們的差數作為股。弦、股各自平方，用弦的平方減去股的平方，它們的差平方作為勾，再乘以二，就是割下的弧形田的弦長。把割下的弧形田的高平方，乘以二，再除以圓的直徑，所得的商加上弧形的弦長，便是割下的弧形田的弦長。再割一塊田，其算法也如此，把總的弧長減去已割部分的弧長，就是再割田的弧長了。（假如有一塊圓形田，直徑為十步，想使割出的弧形高二步，就用圓半徑五步作為弦，五步平方得二十五，用半徑減去弧形的高二步，它們的差數三步作為股，平方得九。用它來減弦的數二十五，得十六，開平方得四，這就是勾，再乘以二就得弧的弦長。把圓弧的高二步自乘，得數為四，再乘以二得八，退上一位為四尺，用圓的直徑相除。現今圓的直徑為十，已經滿了整十數，不除退上一位也可以。只需要將四尺加入弧弦長，就得出圓弧的弧長，共是八步四尺。再割一塊田，也依照這種方法。如果圓弧直徑是二十步，要求孤長，就應當折半，這就是所說的要用圓弧直徑來除它。）這兩類方法都是涉及精微的算法，是古書里所沒有的。
作品賞析
沈括是一位卓越的數學家，在數學的許多領域內都取得了輝煌的成就，《隙積術和會圓術》記所記的隙積術和會圓術就是他的兩大重要研究成果。隙積術是用來計算諸如累棋、層壇、積罌（堆砌的酒罈子）一類堆垛物體的體積公式，其中包含了高階等差級數的計算公式。沈括的研究開了中國垛積術研究的先河。後來，南宋時期的數學家楊輝發展了這一成果，創造了垛積術公式。
會圓術是計算圓弧的弦、矢（弧的高）與孤長間數量關係的數學公式。在我國數學史上，沈括第一個利用弦、矢求出了孤長的近似值。這一公式為元代郭守敬創製《授時曆》提供了直接的數學依據。
沈括的數學成就贏得了中外科學家的高度讚揚。日本數學家三上義夫在其《中國算學之特色》一書中，稱讚他是世界數學史上獨一無二的傑出人物。客觀地看，這一評價基本上還是符合事實的。
作者簡介
沈括（1031—1095），字存中，浙江錢塘（今杭州市）人。北宋天聖九年，出生於一個下層官吏的家庭，家境並不富裕，沈括常自謂“出自寒門”。母徐氏，是蘇州吳縣人，知書達禮，諳通文墨；父沈周，為官清正，不主張嚴刑苛法，到泉州任職時，沈括隨往。
沈括的一生，可以概括為從政和科學研究兩個方面，茲舉其要點：公元1070（熙寧三年），參加了王安石變法，並且是改革派的中
作者沈括堅人物；公元1075（熙寧八年），出使遼國，“正駁斥遼國無理爭地要求，維護了宋室主權；繼而鎮守延州（今陝西延安），加強武備，設防邊睡，有效地抵禦西夏。沈括一向重視興修水利、監製兵器、管理財政等，希望促進國家強盛。沈括在從政的同時，一生重視科學研究和科學發明的記載。所進行的科研，堪稱廣博，諸如觀測天象，繪製渾儀景表，補修《奉元歷》；在數學方面，創立“隙積術”和“會圓術”；在物理學方面，發現地磁偏角的存在，早於歐洲400多年，對共振規律也有研究；在地質學方面，從岩石生物遺蹟中推論出沖積平原的形成，提出石油的命名。此外，鑽研藥用植物與醫術。沈括平生著述頗多，著名的傳世之作有《夢溪筆談》、《長興集》、《蘇沈良方》等。在《資治通鑑長編》中，尚有一部分他所撰寫的《乙卯入國奏請》、《入國別錄》等資政史料。
公元1082（元豐五年），因徐禧失陷永樂城，沈括連累受貶，居潤州，築夢溪園（今鎮江東郊），潛心著述，至紹聖元年復官爵，公元1095辭世，終年65歲。
