楞次定律
乍看起來,這個實驗可以容易地根據楞次定律來解釋。設線圈電流i1在某一時刻的實際方向如箭頭所示,則鐵心上端相當於N極。由i1激發的變化磁場對鋁環提供一個變化的磁通,因此鋁環出現感生電流i2。設i1正在增大,則根據楞次定律,i2的實際方向如圖中的虛箭頭所示。把鋁環等效地看作一個極短的磁鐵,則它的下端應為N極。這個N極與磁鐵上端的N極相斥,即鋁環受到一個向上的磁場力,正是這一磁場力與鋁環的重力平衡而使它懸浮於鐵心上空。
變化周期
然而,對以上分析可以提出這樣的質疑:i1的方向是不斷改變的,在i變化一個周期的時間內,以上分析是否對每一時刻都能成立?設線圈電流i1的變化曲線如圖3所示。在第一個T/4時間內,i1>0,di1/dt>0,以上分析當然正確。然而在第二個T/4內卻有i1>0及di1/dt<0,i1>0表明鐵心上端仍為N極,而di1/dt<0卻表明激發的磁通在減小,根據楞次定律,這時鋁環的感生電流的方向將與圖2中的虛箭頭i2相反,於是鋁環下端為S極,它與鐵心上方的N極相吸!以上分析導致如下結論:鋁環在i1的第一、三個周期內受斥力(向上),第二、四個周期內受吸力(向下),一周期內受力的平均值為零。如果i1變化的周期足夠長,將會看到鋁環在每一周期中作“向上→向下→向上→向下”的振動。但實際上i1的周期很短(如0.02秒),在這樣短的時間內,鋁環上下振動的振幅將小到觀察不出來的程度。就是說,我們將看到鋁環停線上圈上面而不是浮在空中,其重力是被線圈的支撐力所平衡而不是被磁場力所平衡,這顯然是不符合實驗事實的。
位相差
以上分析的關鍵性錯誤是沒有考慮到鋁環的感生電流i2與其感生電動勢之間的位相差。把鋁環看作一個閉合電路,設e12是線圈電流i1的磁場對鋁環提供的感生電動勢,則其復有效值ε12與感生電流復有效值I2之比就是這個閉合電路的復阻抗Z(註:這實際上是二端網路復阻抗定義對閉合電路的推廣。類似地,阻抗z、阻抗角φ及功率因數cosφ等概念也可以推廣到閉合電路中去。)。由於鋁環存在自感L,因而存在感抗xL=ωL,再設鋁環的電阻為r,則其阻抗角為
ψ=tan-1(ωL/r)。雖然鋁環的自感L很小,但因為其電阻r也很小,所以ψ不一定小。下面就要看到,正是這個ψ角對“跳環”實驗的解釋起著決定性的作用。
約定i1、φ12(由i1激發的穿過鋁環的磁通)、e12及i2的正方向如圖4所示,則四者的位相關係可由如下的討論得知:
⑴根據畢奧-薩伐爾定律,φ12與i1位相相同。
⑵根據考慮了楞次定律的法拉第定律e12=-dφ12/dt或ε12=-jωΦ。可知e12比φ12落後π/2。
⑶根據交流全電路歐姆定律的複數形式ε12=I2Z。
可知i2比e12落後一個角度ψ(鋁環的阻抗角)。為簡單起見,設ψ=π/4,則i2比e12落後π/4。
總結
總結以上三點,可知i2比i1落後π/2+π/4=3π/4,i1及i2隨t變化的曲線如圖5所示。下面從該圖出發分析鋁環所受的磁場力。把一個周期劃分為AB、BC、CD及DE四個時間段。先討論AB段的情況。由圖可見,在這段時間內i1>0而i2>0。i1>0表明i1的實際方向與圖4約定的正方向相同,故鐵心的上端為N極;i2>0表明i2的實際方向與圖4約定的正方向相反,故鋁環下端為N極(圖6a)。由於同性相斥,鋁環受力應該向上。再看時間段BC。由圖5可見,在這段時間內i1及i2都為正,故鐵心上端仍為N極而鋁環下端為S極(圖6b)。由於異性相吸,鋁環受力向下其餘兩個時間段的情況分別如圖c、d所示。由圖5及6不難看出,鋁環受力在一個周期內的平均是向上的,正是這個平均的磁場力與鋁環的重力平衡而使它懸浮於鐵心的上空。
決定性作用
從以上討論可以看出,鋁環的感生電流i2與感生電動勢e12的位相差ψ在分析中起著決定性的作用。如果ψ果真為零,時間段AB、BC、CD、DE就長度相等,鋁環所受磁場力的平均值就必然為零。
實驗分析
關於“跳環”實驗的分析,還有必要說明以下兩點。
1、鋁環所受的磁場力實質上是線圈電流i1的磁場對載有感生電流i2的鋁環提供的安培力。鋁環本身並非磁鐵,用磁極之間的相互作用力來分析問題只是一種等效的方法。採用這一方法時,本來應該考慮到鋁環的兩個磁極所受的磁力,以上分析時沒有考慮鋁環上端磁極所受的力,實際上是默認線圈電流i1的磁場在鋁環上端比下端弱些,因而整個鋁環受力的方向可以用下端磁極受力方向來代表。如果要作更嚴格的分析,最好還是直接討論i1的磁場B對鋁環各段的安培力。討論時,必須注意B線在鐵心之外是發散的,因此環上各點的B都可分解為軸向分量Bz和徑向分量Br兩部分,如圖7所示。不難看出,Bz對i2的安培力是徑向的,Bz對整個鋁環提供的安培力的合力為零;Br對i2的安培力是軸向的,由於Br與i1位相相同,利用圖7及5不難證明整個鋁環所受的這種軸向力的合力在一個周期內的平均是向上的,即與用磁極受力的方法所得的結論相同。
2、以上分析的重要性遠不止於解決一個“跳環”實驗的理論分析問題,它實際上告訴我們,在分析涉及感生電流的問題時,必須特別注意由外磁場的變化引起的感生電動勢與感生電流之間可能存在的位相差。不注意這一點往往會導致錯誤的結論。