質點組力學是研究質點組的動力學規律.重點掌握:
(1)質心的概念和計算
(2)質點組的三個基本定理(動量定理,動量矩定理,動能定理)在基本系和質心坐標系中的數學表示.
(3)質心坐標系的重要性和特殊性.
§2.1質點組
本節重點是掌握內力的性質,質心的概念和計算.
一,質點組的內力和外力
彼此有相互作用的許多質點的集合叫質點組.(一群毫無相聯繫的蚊蠅以及一盤散沙,都不是質點組)
1,內力和外力:內力記為,外力記為.
2,內力的基本性質;
利用牛頓第三定律可得到:質點組中各內力的矢量和恆為零.
(1)
二,質心
1,質心的概念
質心是質點組中的一個特殊的幾何點,當把質點組的各質點的質量總和(即)放在該點時,它的狀態可以代表質點組的總體特徵,該點通常記為C.
2,質心位置的確定
①質點組情況如圖2.1.1,
O為原點,C為質心,它的位置矢量.第i個質點質量,位矢,這裡i=1,2,…,n.
由確定的的端點c即為質心.
②質量連續分布的物體
設質量密度為ρ(x,y,z),則質心位置由如下公式決定:
,
③若干塊物體構成的物體體系
如圖2.1.2,選取原點o,設物體1質量,質心位矢……物體j的質量,質心位矢,則這些物體構成的物體系的質心C的位矢為:
§2.2質點組動量定理與守恆律
本節要求是掌握質心運動定理,它是剛體力學的基礎之一.
一,質點組動量定理
由牛頓第二定律,每個質點的運動方程為
對n個質點求和,利用質點組內的力和為零的性質,得到
(外力的矢量和)
即質點組的動量的變化率等於質點組所受外力的矢量和.
二,質心運動定理
由質心的定義:,對時間兩次求導數,利用內力的矢量和為零,可得
(外力矢量和)
該式稱為質心運動定理,表明:質點組質心的運動如同一個質點的運動一樣,它的質量等於整個質點組的質量,作用於它的力等於質點組外力矢量和.
該式表明了質心的重要性和特殊性:
(1)質心是一個特殊的幾何點,但它的運動狀態可以代表質點組的整體特徵;(2)內力不影響質心的運動狀態,但能影響個別質點的狀態;(3)給定外力,各質點運動狀態儘管不知道,但質心的運動狀態可以完全確定,質心的運動狀態只取決外力.
三,質點組動量守恆律
若質點組受的外力矢量和為零,則質點組動量P=恆量.
利用,對時間求導數可得:
質點組動量守恆定律表明:若,則P=Pc=恆量,即質心作勻速直線運動(恆量),內力不會引起質心運動狀態的改變.
§2.3質點組動量矩定理與動量矩守恆律
本節的要求是掌握質點組動量矩定理,特別是掌握對質心的動量矩定理.
一,質點組對定點O的動量矩定理及守恆律
由牛頓第二定律,第i個質點的動力學方程為
(1)
兩邊用左乘,再對各質點求和,利用內力總成對出現且等大,反向並
作用在同一直線上這一性質,得到
或(2)
(2)式表明;質點組對定點的動量矩的時間變化率等於受到的外力矩.
若,則動量矩=恆量(3)
二,對質心的質點組動量矩定理
1,質心坐標系
設oxyz為靜止系,若另一坐標系cx'y'z'隨質點組運動而運動,原點取在質點組的質心,坐標軸與基本系oxyz的坐標軸平行,則cx'y'z'叫質心坐標系(見圖2.3.1).
質心坐標系的特點是:在質心繫中,質心的位置矢量
2,對質心繫的動量矩定理
對質心繫的質點組動量矩;對質心的力矩為.
利用內力的性質得到內力矩為零,再利用質心的性質,可以得到對質心的力矩(外力力矩).由牛頓第二定律出發,可得
(4)
該式表明:對質心的動量矩的對時間的變化率等於作用於質點組的外力對質心的力矩(該式稱為對質心的動量矩定理).
(4)式還表明了質心繫的特殊性:(2)式由是牛頓第二定律所得,它只對慣性系才適用.質心繫一般情況而言並不是慣性系,但是,質心繫中的質點組動量矩定理仍保持與慣性系中相同的形式.
(4)式還表明:慣性力,內力對質心的力矩恆為零.
§2.4質點組動能定理與機械能守恆律
本節應重點掌握質點組的動能定理,對質心的動能定理以及計算質點組動能的柯尼希定理.
一,質點組動能定理和機械能守恆律
在靜止系中,對每一質點的動能定理
求和後得到
即質點組動能的變化等於質點組受的外力和內力作功之和(動能定理).
應注意:內力作功並不一定為零,如圖:
質點1,2的位置矢量為,.質點1受質點2的作用力為,質點2受質點1的作用力為,由牛頓第三定律有:.這兩個力作功為
顯然:只有當運動時兩質點間距離保持不變(如剛體),內力作功才為零.一般情況內力作功不為零.
特例:若外力,內力都是保守力,則質點組的機械能守恆.
二,對質心的動能定理
利用質心的性質和質心繫中的牛頓定律(引入了慣性力),有
兩邊點乘,得到
該結果表明:質點組對質心繫的動能的變化等於外力和內力對質心繫作
功之和.該結論稱為質點組對質心的動能定理.
從這裡可以看出:
慣性力對質點組作的功為零;利用質心繫中的動能定理,可以克服慣性力作功是否為零的困難.這又一次體現質心繫的特殊性:質心繫並不是慣性系,但在質心繫中的質點組動能定理仍保持慣性系中具有相同的形式,而其他坐標系無此性質.
三,柯尼希定理
該定理提供了計算質點組動能的方法,剛體動力學中經常用到.利用質心的性質和靜止系與質心繫的相互關係,可得
即質點組的動能等於質心的動能與各質點對質心的動能的和(該結果稱為柯尼希定理).
四,內力和慣性力性質的簡單歸納
1,內力的性質
(1),質點組的內力的矢量和為零:
(2),內力對某定點的力矩和為零;
(3),內力不影響質心的運動狀態.
(4),內點作功不為零(剛體除外).內力會影響各質點的運動狀態.
2,慣性力
慣性力對質心的力矩為零,在質心繫中慣性力對質點組作功為零.
§2.5兩體問題
本節應重點掌握兩體問題的處理方法.
研究兩體問題的重要性在於:許多問題,如氫原子中的電子繞原子核的運動;地球繞太陽的運動;衛星繞地球的運動等.對這類兩體運動問題,將核,太陽,地球視為靜止,則所得的結果必有誤差.為了更準確研究,就應採用本節提出的兩體問題的處理方法,下面以太陽和行星為例說明.
一,兩體運動的方程
1,慣性系中:以S代表太陽,P代表行星,它們的位置矢量分別為,(如圖2.5.1).質量分別為M,m.則動力學方程為
(太陽,對慣性系)
(行星,對慣性系)
令為質心的位矢,可由以上兩式相加,可得到質心滿足的方程為
該式表明:質心是作勻速直線運動,而太陽,行星是繞質心的圓錐曲線運動.
2,質心繫中:設太陽和行星的位置矢量分別是,.則
即太陽,行星均繞質心作圓錐曲線運動
3,行星對太陽的相對運動
考慮到太陽也在運動後,令為行星相對於太陽的位置矢量,可得行星的相對運動方程為(這裡為單位矢量)
令u=Mm/(M+m),或,u稱為折合質量,顯然,u小於M和m中的較大值.該式表明:考慮太陽也在運動後,行星仍對太陽作圓錐曲線運動(但
質量不為m而是折合質量u.)
應指出:若M>>m,由上式引起的誤差極小,仍可以將太陽視為靜止處理.如果上式不成立,兩質量差別不太大,則必須採用兩體問題處理.
§2.6質心坐標系與實驗室坐標系
本節應掌握質心坐標系與實驗室坐標系的概念以及兩粒子彈性散射(碰撞)時散射角在質心繫和實驗坐標系中的相互關係.
一,實驗室坐標系與質心坐標系
實驗工作者採用的坐標系叫實驗室坐標系.最多的是取地球作為靜止系(慣性系).原點取在質心,而坐標軸與實驗坐標系的坐標軸平行的坐標系叫質心繫.
二,兩種坐標系中彈性散射的不同結果
1,兩種坐標系中看到的彈性散射現象(見書p134圖2.6.2)
2,兩坐標系中散射角的相互關係
設兩質點的質量為,散射角在實驗室坐標系中為θr,在質心繫中為θc,可由相對運動速度的合成關係(見圖2)
將它投影在水平方向與垂直方向,可求得
為了消去並用質點的質量表示,可利用質心的定義並以r表示質點2相對質點1的位置矢量,由
,
可得到用散射角θr用質點質量表示的形式
特例:
(1)重核散射(如α粒子散射)時:,有
(2)等質量粒子散射(如質子―中子散射)時,,有
§2.7變質量物體的運動
本節應重點掌握變質量物體運動的運動方程和套用變質量物體運動方程求解具體問題的一般步驟.
一,變質量問題的重要性
這裡的變質量問題不是指高速運動因相對論效應引起的變質量,而是指物質的增減引起的變質量.實際問題中大量存在變質量問題:雨滴下落因蒸發或凝聚發生質量變化;滾雪球;火箭飛行等.
二,變質量物體的運動方程
如圖2.7.1,一物體的質量m,t時刻速度為,同時,一微小質量Δm之物體以速度運動,並在t+Δt時刻與m合併,合併後的共同速度為,作用在Δm和m的合外力為F,則由動量定理並注意到Δm和都很小,可略去,得到
(1)
u代表微量Δm與m合併前或自m分出時一瞬間的速度.
公式(1)的適用條件:v很小,Δm很小.
方程(1)有兩方面的套用:已知合外力,求物體的運動規律;已知變質量物質的運動規律,求作用於系統上的外力.三,求解變質量物體運動問題的一般步驟.
一般步驟:弄清研究對象和,;選取適當的坐標系,分析作用於體系的合外力;寫出方程的矢量形式和坐標分量形式;求解方程,討論結果.
[例1]長L的均勻細鏈條伸直平放水平光滑桌面上,方向與桌面邊緣垂直(圖2.7.2).開始時鏈條靜止,一半從桌上下垂,求鏈條末端滑到桌子邊緣時鏈條的速度v.
解:如圖選取坐標系,以下垂段為研究對象.
方法一:用變質量物體的運動方程求解
以長為x的一段和Δx的一段分別作m和Δm,作用於它們的合外力為重力和桌面上的一段對它的拉力T.dx段合併於x段的速度(x段的速度),有方程
∵u=v,∴(1)
設線質量密度λ,由對桌面上一段的牛頓第二定律,有
(B)
將(B)代入(A),並注意m=λx,,可得
,積分:,求出
方法二:用機械能守恆定律求解
以下垂的一段為研究對象,以桌面為零勢能位置,則由機械能守恆。
