貝特朗奇論

可以在圖一中發現，只有當另一端點位於上方的圓弧時，這條弦的長度才會超過三角形的邊長，由此可得所求機率為1/3。 從圖二可以看出，當弦心距小於1/2時，這條弦的長度大於三角形邊長，所以這樣求出的機率為1/2。 需要說的是，隨意指責哪個假設是不合理的有所不妥，因為它們都是有依據的。

在單位圓內隨機地取一條弦，其長超過該圓內接等邊三角形的邊長√3的機率等於多少？
這個問題看似簡單，結果卻讓人大跌眼鏡。我們可以用三個完全正確的方法，得到三個完全不同的答案！
1.將弦的一段固定在等邊三角形的某一個頂點上，然後另一端繞著圓周旋轉。可以在圖一中發現，只有當另一端點位於上方的圓弧時，這條弦的長度才會超過三角形的邊長，由此可得所求機率為1/3。
2.根據幾何學原理，圓內弦的長度與弦到圓心的距離有關。從圖二可以看出，當弦心距小於1/2時，這條弦的長度大於三角形邊長，所以這樣求出的機率為1/2。
3.再來考慮一條弦的中點，根據圖三可以得出：只有當弦的中點位於半徑為1/2的小圓內部時這條弦的長度才滿足要求，同時因為這個小圓的面積是大圓的1/4，所以所求機率也是1/4。
你能說出到底哪種方法是錯的嗎？如果它們都是對的，那么這樣的一道客觀題又怎么會有三個不同的答案呢？
其實這三種說法都是正確的。但是它們的結果之所以不同，只是因為它們各自對問題的理解不同，採用了不同的等可能性假定。在第一種方法中，我們默認的假設是“圓內弦的端點在圓周上是均勻分布的”；在第二種方法中，我們默認的是“圓內弦到圓心的距離是均勻分布的”；第三種方法默認的假設則是“圓內弦的中點在整個圓的內部是均勻分布的”。這三種假設對應著三種不同的求解方法。
需要說的是，隨意指責哪個假設是不合理的有所不妥，因為它們都是有依據的。不妥的地方在問題本身，這個問題問的並不嚴謹，沒有對問題中的“基本空間”進行定義，導致在解題人求解時只能夠依靠自己的理解補充解題所需條件。如此一來，一問三解就不足為怪了。
上述問題被稱為“貝特朗奇論”，是數學家貝特朗在上世紀初提出來的，用於批判當時尚不嚴謹的機率論。也正是在貝特朗工作的推動下，此後機率論的研究開始向公理化方向發展。