定義
定義一
詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想 詣零理想 詣零理想 詣零理想 詣零理想 詣零理想
詣零理想 詣零理想設 為任意一個環，如果 且有自然數n使 ，則說 是 的一個詣零元素，又當n是使 的最小自然數時，就說n是 的詣零指數，設L是 的一個左理想，如果L中元素都是詣零元素，則說L是 的一個 詣零左理想；如果有自然數n使 ，則說L是 的一個冪零左理想。同理可定義 詣零右理想與想 詣零兩邊理以及冪零右理想與冪零兩邊理想。顯然，冪零左(右、兩邊)理想為特殊的詣零左(右、兩邊)理想，還可以定義詣零環、詣零子環、冪零環、冪零子環等，顯然理想的詣零性與冪零性均為環同態下的不變性。
定義二
詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想若A是環R的理想，則一般僅有關係式 和 ，如果R有單位元，則必有RA=AR=A，所以我們常把R稱為單位理想，稱理想A為冪等理想，如果，因而必有 ， 稱理想A為冪零理想，如果存在自然數n使 (注意：未必有 )，易見，此時A中任意n個元素的乘積必為0，特別，A中任意元都是冪零元，任意元都是冪零元的理想稱為 詣零理想。因此，冪零理想必是 詣零理 想，反之不然，例如，交換環中冪零元全體成詣零理想，但未必是冪零理想 。
相關性質與定理
詣零理想
詣零理想
詣零理想 詣零理想 詣零理想命題1 的兩個冪零左理想 與 之和 + 仍為冪零的。
詣零理想
詣零理想 詣零理想命題2 如果L是 的一個冪零左理想，則 為 的冪零兩邊理想。
命題3
詣零理想
詣零理想 詣零理想⑴如果L是 的冪零左理想，則 為 的冪零兩邊理想。
詣零理想 詣零理想 詣零理想 詣零理想 詣零理想由定義易知 為 的兩邊理想(它是 的含L的最小兩邊理想），其冪零性可由命題1、2而知。此命題說明 的冪零左理想恆可擴大成為 的冪零兩邊理想。
詣零理想
詣零理想 詣零理想⑵如果R是 的冪零右理想，則 為 的冪零兩邊理想。
詣零理想 詣零理想命題4 任意環 的一切冪零左、右及兩邊理想的並集N是 的一個詣零兩邊理想。
詣零理想命題5 的兩個詣零兩邊理想A，B之和A+B仍為詣零的。
詣零理想 詣零理想命題6 含有非0的詣零左理想等價於 含有非0的詣零右理想。
詣零理想 詣零理想命題7 任意環 的一個子環S為詣零的必要而且只要有 的詣零兩邊理想M使S在自然同態映射
詣零理想
詣零理想下的映象 為詣零的。
詣零理想 詣零理想
詣零理想
詣零理想
詣零理想 詣零理想命題8 如果S為 的詣零子環，M為 的詣零兩邊理想。則 (即所有 作成的子集， )為 的詣零子環。
對於冪零性同樣有：
詣零理想
詣零理想 詣零理想
詣零理想 詣零理想命題9 的子環S為冪零的 有 的冪零兩邊理想M使S在( )下的映象 為冪零的。
詣零理想 詣零理想 詣零理想命題10 如果S與M分別是 的冪零子環與冪零兩邊理想，則 為 的冪零子環。
詣零理想
詣零理想 詣零理想定理1 的上指數為n的左(右)理想( )恆含有 的上指數為3或2的左(右)理想。
詣零理想 詣零理想定理2 的上指數為3的左理想L必含有 的上指數為2的左理想。
詣零理想 詣零理想定理3 中上指數為2的左理想L恆為 的若干個冪零指數為2的冪零左理想的並集。
