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將三角形的三個內角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點,則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。證明方法
該定理以其美妙和證明困難著稱,到目前為止,已經有很多證明方法。證法一
設△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線,三邊長為a,b,c,三內角為3α,3β,3γ,則α+β+γ=60°。在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性,△ABC外接圓直徑為1,則由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=
(sin3γ*sinβ)/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=
2sinβsinγ(√3cosγ+sinγ)=4sinβsinγsin(60°+γ).
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]:[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,CED=60°+α
FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60
∴△FED為正三角形。
證法二
∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ),AF:AB=sinβ:sin(α+β),
AB:AC=sin3γ:sin3β,
∴AE:AF=(ACsinγ/sin(α+γ)):(ABsinβ/sin(α+β)),
而sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ)):(sinβsin(60°+β)sin(60°-β)),
sin(α+β)sin(60°-β)=sin(α+γ)sin(60°-γ),
∴AE:AF=sin(60°+β):sin(60°+γ),
∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,
同理∠CED=60°+α,
∴∠DEF=60°,
同理∠DFE=60°,
∴△DEF為正三角形。