歷史
馬克斯·普朗克對於光波的發射和吸收的研究，點燃了舊量子論。後來，愛因斯坦發表了固體比熱的傑作。緊接著，套用量子原理於原子運動，彼得·德拜解釋了比熱的異常現象。這些貢獻開啟了舊量子論如火如荼的發展。
1913年，玻爾發表了對應原理。套用這原理，他又建構了氫原子的玻爾模型，成功地解釋出氫原子的發射譜線。
整個1910年代，一直到1920年代中期，物理學家套用舊量子論為一個解析原子問題的嶄新利器。但是有成功也有失敗，效果並不一致。在這期間，科學家知曉了分子的旋轉和振動譜線，也發現了電子自旋；但這些也引起了半整數量子數的困惑。愛因斯坦提出了零點能量理論。阿諾·索末菲半經典地量子化相對論性氫原子。克拉莫給予了斯塔克效應(Stark effect)一個合理的解釋。薩特延德拉·玻色和愛因斯坦正確地找到了光子的量子統計。
於1924年，克拉莫發表了量子色散理論，借著運動軌道的傅立葉分量，可以計算從一個量子態躍遷至另一個量子態的機率。通過與海森堡的合作，這點子被延伸為一個半經典的，以類似矩陣的形式來描述的原子躍遷機率。海森堡繼續這研究，以這躍遷方法來重新表述量子理論，原創出矩陣力學。
同樣於1924年，德布羅意提出物質的波動理論。在1926年，薛丁格找到了一個量子波動方程，能夠清楚明了，前後一致地複製舊量子論的所有成果。後來，薛丁格證明了他的波動力學和海森堡矩陣力學是等價的。波動力學和矩陣力學共同結束了舊量子論的時代。
緒論
舊量子論是一些比現代量子力學還早期，出現於1900年至1925年之間的量子理論。雖然並不很完整或一致，這些啟發式理論是對於經典力學所做的最初始的量子修正。舊量子論最亮麗輝煌的貢獻無疑應屬玻爾模型。自從夫朗和斐於1814年發現了太陽光譜的譜線之後，經過近百年的努力，物理學家仍舊無法找到一個合理的解釋。而玻爾的模型居然能以簡單的算術公式，準確地計算出氫原子的譜線。這驚人的結果給予了科學家無比的鼓勵和振奮，他們的確是朝著正確的方向前進。很多年輕有為的物理學家，都開始研究量子方面的物理。因為，可以得到很多珍貴的結果。
直到今天，舊量子論仍舊有聲有色地存在著。它已經轉變成一種半經典近似方法，稱為WKB近似。許多物理學家時常會使用WKB近似來解析一些極困難的量子問題。在1970年代和1980年代，物理學家Martin Gutzwiller發現了怎樣半經典地解析混沌理論之後，這研究領域又變得非常熱門。
基本原理
舊量子論的基本原理談到原子系統的運動是量子化的，離散的。原子系統遵守經典力學；但不是每一種運動都合法，只有那些遵守 舊量子條件的運動是合法的：
舊量子論
舊量子論
舊量子論
舊量子論其中， 是動量， 是對應的坐標， 是整數的量子數，h是普朗克常數。
舊量子條件又稱為 威耳遜-索末菲量子化定則，是由威耳遜和索末菲各自發現的。舊量子條件公式的閉路積分取於整個運動的一周期，是相空間的面積，稱為作用量。由於在這裡，作用量被量子化為以普朗克常數為單位的整數，因此，普朗克常數時常被稱為 作用量的量子。
為了要符合舊量子條件，經典運動必須是可分的，意思是說，運動方程可以分為幾個獨立部分，每一個獨立部分都包含了一個不同的坐標，而每一個坐標的方程部分所描述的運動都是周期性的。不同部分描述的運動不一定會有同樣的周期，它們的周期甚至是互相不可通約的。可是，整個系統必須有一組可分的坐標，每一個坐標的方程部分都分別描述一個周期性的運動。
使用舊量子條件的動機，一個是對應原理，還有一個就是量子化的物理量必須是緩漸不變數的實際物理觀察。例如，給予諧振子的普朗克量子化定律，這兩個條件中，任意一個條件決定了量子化一個一般系統的正確經典物理量。
範例
一維位勢
一維問題的解析相當容易。給予任意能量E，從能量守恆定律，可以計算出粒子的動量：
舊量子論其中，V(q)是坐標為q的地點的位勢。
轉向點是粒子動量消失的位置。在經典轉向點之間，將這動量的公式積分於所有q的可能值，再加入舊量子條件，就可以得到舊量子條件的方程。
假設，這問題是盒中粒子問題。則舊量子條件方程為
舊量子論其中，n是正整數，L是盒子的長度。
那么，容許的動量是
舊量子論容許的離散能級是
舊量子論旋轉子
在一根長度為 R的無質量剛桿的一端，連結著一個質量為M的粒子，稱這連結體為 旋轉子。假設，剛桿的另外一端固定於一個固定點，則旋轉子可以繞著這固定點作旋轉運動。採用極坐標系，這旋轉子的旋轉運動的拉格朗日量L是
舊量子論
舊量子論其中，是角坐標。
角坐標的共軛動量J是
舊量子論 舊量子論舊量子條件要求的周期、J，兩個物理量的乘積為普朗克常數乘以整數倍數n：
舊量子論也就是說，角動量J是約化普朗克常數的整數倍數。將這舊量子條件帶入玻爾模型，就可以得到氫原子的能級！
氫原子
氫原子物理的角部分只是一個旋轉子，給出量子數l、m。剩餘的徑向部分是在位勢作用下的周期性一維運動，可以解析。
舊量子論給予固定值的總角動量L，一個經典克卜勒問題的哈密頓量H是（為了簡化方程，重定義質量的單位和能量的單位。這樣，可以吸收兩個常數：質量和庫侖定律的係數）：
舊量子論其中，r是徑向坐標，p是徑向動量。
設定能量為常數E，徑向動量是
舊量子論由於位勢乃反平方連心勢，經典的電子運動軌道是橢圓。近拱點和遠拱點分別是當p=0時電子位置的徑向坐標：
舊量子論
舊量子論所以，舊量子條件是
舊量子論
舊量子論其中，是一個新的量子數。
經過一番運算，可以得到
舊量子論
舊量子論將量子化的角動量代入，稍加編排，可得能量為
舊量子論兩個量子數k、l共同決定了能量。設定主量子數n：n=k+l。由於k是非負整數， l的容許值必須小於或等於n。除了某些小地方以外，這結果與玻爾模型的能級結果完全相同。
前述關於氫原子的半經典理論稱為 索末菲模型。其軌道是各種不同尺寸的橢圓軌道處於離散的傾斜平面。索末菲模型預測，原子沿著某直軸的磁矩，只能給出離散值。這預測似乎與旋轉不變性相矛盾，但是卻被施特恩-格拉赫實驗證實是正確的。
克拉莫躍遷關係
舊量子論只能適用於特定的力學系統，能夠用周期性的作用量-角度變數來分離的特別力學系統。舊量子論無法處理輻射的發射和吸收。雖然這樣，亨德里克·克拉莫(Hendrik Kramers)找到了一個啟發式，描述怎樣計算輻射的發射和吸收。
克拉莫建議，應該傅立葉分析一個量子系統的軌道，將軌道依照軌道頻率的倍數分解成調和函式：
舊量子論
舊量子論其中，下標n是軌道的量子數，在索末菲模型里，代表n,l,m量子數組，是軌道的角頻率，k是傅立葉模態。
舊量子論克拉莫注意到，只有當頻率是軌道頻率的整數倍數的時候，才會發生輻射的經典發射。在他的量子色散理論里，他提議兩個物理態之間的躍遷可以比擬為輻射的經典發射。那么，輻射的發射率應正比於，如同在經典力學的應有的物理行為。克拉莫的描述並不精確，因為傅立葉分量的頻率並不完全匹配能級之間的差距。這點子後來引導出矩陣力學的發展。
