自由半群
自由半群是指不附加任何其他條件的半群。若X是一非空集合，做：
自由半群則S用如下定義的運算做成一個半群：
自由半群稱S是X上的自由半群，常記S=X.記(X)=X，稱X為X上的自由么半群。自由半群無任何冪等元，因此是無任何正則元的半群。它有如下的特徵：設X是一集合，關於任意半群S和X到S的任意映射φ，存在X到S的惟一的同態η使得下圖交換(即ηi=φ)，其中，i為X到X的包含映射。反之，若用半群T和映射j：X→T分別代替上面的X和i：X→X使上事實成立，則T同構於X。自由么半群也有類似的特徵。
自由半群自由群
自由半群 自由半群
自由半群
自由半群
自由半群 自由半群
自由半群
自由半群
自由半群 自由半群 自由半群 自由半群設S為任意集合，S中有限個連在一起叫做是一個字。字和相等，如果n=m且。以表示所有這樣的字（包含空字1）組成的集合。中定義兩個字的運算為，，且對每個字，規定，則這個運算顯然滿足結合律，所以對上述運算形成一個含么半群，它稱為集合S上的自由含么半群，集合叫做的基。“自由”一詞意味著中除了含么半群定義中的要求之外，沒有任何其他約束條件。
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群
自由半群 自由半群 自由半群
自由半群
自由半群 自由半群 自由半群 自由半群
自由半群
自由半群
自由半群 自由半群如果將自由含么半群擴大成群，每個元素應當有逆元素，所以給了集合S之後，再考慮集合。令，這裡當n=0時，規定。中運算仍定義，但是約定，對每個，。這樣，中每個元素均有逆元素，例如的逆元素為。對於上述運算及約定構成群，叫做集合S上的自由群，S叫做此自由群的基。顯然S是群的一個生成元系。如果S是有限集，則叫做有限生成自由群。特別當時，就是無限循環群，而當時，是無限非阿貝爾群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
半群
半群是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半群。半群(S，·)簡記為S。
半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。半群代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半群的論文).在數學內部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於群論和環論之外.在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數理論》，這對半群代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用.由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關半群理論的一個重要的國際性專門刊物.許多數學家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後).半群代數理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分.此外，尚有半群的分析、拓撲和序理論。
阿貝爾群
阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
設G是一個群，如果對任何a，b∈G，ab=ba，則稱G是一個交換群，或阿貝爾群。阿貝爾群的子群都是正規的。在阿貝爾群中，我們把運算記為加法。設G是一個群，S是G的一個子集，G的包含S的所有子群的交稱為G的由S生成的子群，記作〈S〉。如果G=〈S〉，則稱G是由S生成的，S是G的一個生成元集。如果G有一個有限生成子集，則稱G是有限生成的。設G是一個群，A，B是G的子群，如果G=〈A∪B〉，A∩B僅含G的單位元，則稱G是子群A，B的直積，當G是阿貝爾群時，也稱G是子群A，B的直和，記作G=A⊕B。循環群是阿貝爾群。
