邊界條件
邊界條件指在運動邊界上方程組的解應該滿足的條件。有限元計算，無論是ansys，abaqus，msc還是comsol等，歸結為一句話就是解微分方程。而解微分方程要有定解，就一定要引入條件， 這些附加條件稱為定解條件。定解條件的形式很多，最常見的有兩種——初始條件和邊界條件。
一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
自然邊界條件
在數學中，紐曼邊界條件也被稱為常微分方程或偏微分方程的“第三類邊界條件”。紐曼邊界條件指定了微分方程的解在邊界處的微分。
自然邊界條件在常微分方程情況下，如在區間[0,1]， 紐曼邊界條件有如下形式：
自然邊界元
自然邊界元法是從Green函式和Green公式出發，通過自然邊界歸化把區域中偏微分方程的邊值問題化為邊界上的自然積分方程，然後通過化成等價的變分形式，從而在邊界上離散化求解。自然邊界元法不但具有一般邊界元方法的優點，且剛度矩陣保持了對稱正定性，並有循環性或分塊循環性，大大減少了計算量。然而自然邊界元方法也有其局限性:對於不規則區域上的邊值問題，往往難以得到相應的Green函式，從而無法求得自然積分方程和Poisson積分公式，也就不能直接被套用。
橢圓自然邊界歸化
我們己經知道自然邊界元法不但具有一般邊界元方法的優點，且由於剛度矩陣的對稱正定性，並有循環性或分塊循環性，從而具有更多的數值計算上的優點。但對於不規則區域上的邊值問題往往難以得到相應的Green函式，從而無法求得自然積分方程和Poisson積分公式，也就不能直接套用自然邊界元法。通過自然邊界元和有限元的耦合法，使之繼承了有限元能適應較任意區域的優點，也克服了自然邊界歸化對區域的限制，大大拓展了處理問題的範圍。又由於二者基於同樣的變分原理，故它們的耦合非常自然而直接，且禍合法的總剛度矩陣恰為分別由自然邊界元法及有限元法得到的剛度矩陣之和，這與其它邊界元與有限元的耦合相比要簡單得多。
帶自然邊界條件微分方程數值解
一般情況下，大多的偏微分方程很難求得其精確的解析解，因此，如何求其滿足要求的近似解，也即數值解，成為科學和工程計算中的最重要內容。求解微分方程的數值方法有很多種，如較流行的差分法、有限元法、邊界元法、譜方法與擬譜方法、辛方法等。近年來，逐漸興起另一種求偏微分方程數值解的方法：無格線方法.門。這種數值方法不需要像有限元法一樣需要對微分方程的求解區域進行剖分，只是基於在求解區域中選定的某一組散亂分布的點處的信息來確定真解的一種近似，因此其在許多條件下，特別是在高維情形的實現有時要比有限元方法方便。
本文從任意d元散亂數據出發，給出一種目標泛函較為簡單、更符合實際的散亂數據點的多元多項式自然樣條。用這種自然樣條考慮任意d元散亂數據的插值問題，則該問題的自然樣條解與以往不同，其基函式有良好的邊界條件與簡單的表達式。此外，以這種自然樣條為基礎，可以構造出一種新的偏微分方程數值方法，數值算例表明這種方法是有效的。
用這樣的基於散亂數據的多元樣條自然樣條函式構造的Ualerkin方法是有效的，但針對不同的問題還要注意如下的問題:
（1）在邊值問題中的強加邊界條件是齊次邊界條件，而基函式恰好可能選擇使其滿足相應的齊次邊界條件，因此可以直接進行Ualerkin近似。如果邊值問題中的邊界條件是非齊次的，那么基函式不能直接滿足這樣的邊界條件，從而要使近似解也能滿足或近似地滿足給定的邊界條件就需要對邊界條件進行如何處理加以考慮。對於自然邊界條件，則根據多元函式的Ureen公式等適當構造泛函，使其在變分過程能自動滿足。而強加的非齊次邊界條件可以用補償法將其改造成一個近似的自然邊界條件，或用Lagrange乘子法將其吸收進變分過程，從而達到去掉強加邊界的目的。
（2）對於基函式，由其構造可知，其在方型區域某些邊界上能夠自動滿足一些齊次邊界條件。因此，在具體問題中，對於相應的方型區域上的齊次邊界條件可以選擇或重新構造基函式使其能滿足齊次邊界條件，從而儘可能減少因要對邊界的處理而要在變分方程中增加一些項。
（3）散亂點的選取可以在區域內部，也可在邊界上，但要儘可能使散亂點均勻分布，從而使近似解更能反應方程所反映問題的信息和特徵。
