臨界群

臨界群（Critical group ）是用以反映臨界點性態的有關水平集的相對同調群。

簡介

臨界群是用以反映臨界點性態的有關水平集的相對同調群。

臨界群

臨界群

設X是希爾伯特流形，f∈C(X,R)，x是f的孤立臨界點，f(x)=c。取x的鄰域U使 中僅含f的惟一臨界點x，記 其中H為q階奇異（相對）同調群，Q為係數群，則C(x,f)稱為f的孤立臨界點x的q階臨界群。

推廣

臨界群

臨界群

若f∈C(X,R)，x是f的非退化臨界點，其莫爾斯指數為j，則有 一般地，設a

泛函的臨界點

泛函的臨界點是泛函的梯度為零的點。

關於泛函的臨界點的研究成果形成了頗為系統的臨界點理論，它為研究非線性梯度運算元方程的解提供了理論工具。由於一些散度型微分方程的解恰是相應的積分泛函（亦稱變分泛函）的臨界點，因此，用臨界點理論研究非線性方程的方法被稱為非線性分析的變分方法。