繼承有限集合

下面是繼承有限集合的一個遞歸的定義： 所有繼承有限集合組成的集合記作Vω。 繼承有限集合的一個等價定義是“傳遞閉包為有限集的集合”。

在集合論中，繼承有限集合可以遞歸地定義為由任意多的繼承有限集合組成的有限集合。

形式化定義

下面是繼承有限集合的一個遞歸的定義：
基本情況：空集是一個繼承有限集合。
遞歸步驟：如果a1,...,ak是繼承有限集合，那么{a1,...,ak}也是一個繼承有限集合。
所有繼承有限集合組成的集合記作Vω。記P(S)為S的冪集，則Vω的另一種構造方法是令V0={}，V1=P(V0)，V2=P(V1)，……，Vk=P(Vk-1)，……則Vω為所有自然數k對應的Vk的並集。

討論

繼承有限集合是馮·諾依曼宇宙的一個子類。這個子類是將公理集合論中的無窮公理用其否定代替，所得的一個模型，從而證明了無窮公理不是其它公理的推論。
注意繼承有限集合的個數是可數的，因為對任何有限的n，Vn是有限的，而可數個有限集的並集是可數的。
繼承有限集合的一個等價定義是“傳遞閉包為有限集的集合”。