定義
開覆蓋
定義1 設X為非空集,{A}是X中的一族子集, ,如果
則稱集合族{A}是A的一個 覆蓋。
註:1)如果{A}中任意有限個集合之交非空,則稱{A}具有 有限交性質。
2)在定義1中,當{A}是X中的開集族時,稱其為A的 開覆蓋。
緊緻集(緊集)
定義2 設X為拓撲空間, ,如果在任何一個覆蓋A的開集族中總可取到有限個開集覆蓋A,則稱A是X 中的 緊緻集,簡稱 緊集。
局部緊
定義3 拓撲空間X稱為 局部緊的,是指X中每一點都有閉包為緊的鄰域。
例如,按通常的拓撲,R 是非緊的,但它卻是局部緊的。
性質
性質1 Hausdorff空間X中的緊集必是閉集。
證明:設A 為Hausdorff空間X中的緊集,今證 . 若不然,必有A的聚點x,x∉A. 利用Hausdorff分離性,對任何x∈A,必有x的鄰域U和x的鄰域U',使U∩U'=∅. 顯然,{U|x∈A}是A的一個開覆蓋。根據A 的緊性,存在它的一個有限子覆蓋,設為{U| i=1,2,...,n}. 記
於是,U是x的一個領域,且 這矛盾於x是A的聚點。證畢。
註:1)若拓撲空間中任意兩個不同的點有互不相交的鄰域,則稱該拓撲空間滿足T分離公理,也稱該拓撲空間為Hausdorff空間。
2)拓撲空間的緊集未必是閉集。
性質2 緊集的閉子集是緊集。
證明:設A 是拓撲空間X中的緊集,B是其閉子集,設{F}為閉子集族,且{F∩B}具有有限交性質。注意到(F∩B)∩A=F∩B,對閉子集族{F∩B}而言,{(F∩B)∩A}具有有限交性質。由A的緊性,利用下面的定理1,得:(∩F)∩B=[∩(F∩B)]∩A≠∅,因而B是緊集。證畢。
性質3 拓撲空間中有限個緊集的並仍為緊集,兩個緊集的交未必是緊的,但閉且緊的子集的任意交是閉且緊的。
性質4 拓撲空間的緊集的閉包可以不是緊的,但T空間的緊集的閉包是緊的。
證明緊集的方法
定理1 A是拓撲空間X中的緊集的充要條件是對X中任何閉集族{F},如果{F∩A}具有有限交性質,則(∩F)∩A=∅.
定理2 設X為距離空間,M是X的子集,則M為緊集的充要條件是M為列緊閉集。
定理3 有限維賦范線性空間中的有界閉集是緊集。
註:1)定理1-3的證明見參考文獻[2]的19-27頁。
2)由定理2可知:A是距離空間X中緊集的充要條件是A 中任何點列必有在A中收斂的子列。
常用結論及拓展
1.設X是無限維的賦范線性空間,則X中的單位球{x | ||x|| ≤1}非緊。
證明:證明見參考文獻[2]的28頁。
利用定理4的結論,不難證得:若E是無限維的Banach空間,I:E→E為恆等運算元,則I不是緊運算元。
2.記緊空間X上的連續函式全體為C(X),對f∈C(X),記
則C(X)按 為一個Banach空間。
3.設X是緊距離空間, ,可利用Arzela-Ascoli定理來證明M的列緊性。
4.(Tychonov定理)設Xα是緊拓撲空間,則其乘積空間 也是緊的。