基本介紹
絕對假素數
絕對假素數
絕對假素數 絕對假素數 絕對假素數 絕對假素數
絕對假素數整除 的合成數n是假素數，整除 或 等等的合成數n，我們認為，也具有某種假素數的性質。一個合成數n如果整除 ， ， ，...以及對任何整數a，即使是負整數，也整除 ，肯定是這方面最極端的情形，稱為 絕對假素數。
最小的一個絕對假素數是561，這就是說，561是一個合成數，而a -a可以被561整除，不論a是什麼整數。這是不難證明的，直接從費馬小定理推出。
561的素因子分解是(3)(11)(17)，我們必須證明：a -a可以被這三個素數的每一個整除。我們有
絕對假素數
絕對假素數
絕對假素數但是據費馬定理， 可被11整除，因為11是素數，於是，11整除a -a，同樣可以證明3和17也都是因子。
另外幾個絕對假素數是:
(1)2821=(7)(13)(31)；
(2)10585=(5)(29)(73)；
(3) 15841=(7)(31)(73)。
現在還不知道是否存在無限多的絕對假素數。
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對於費爾馬小定理的逆命題，一直研究了兩千多年，直到1830年，一位不願公開自已姓名的德國作者寫了一篇文章，對這個命題予以否定。他的證明很簡單，舉出一個反例 ：
當n=341時，
2 -2= 2(2 -1)，
2 -1含有2 -1的因子，而
2 -1= 1023=3×341。
∴2 -2能被341整除，
但341=11×31，它不是合數。
因此，費爾馬小定理的逆命題是不成立的。
絕對假素數應當承認，能整除 的n，絕大多數是素數，象341這樣“魚目混珠”的合數是極少數。數學家給它們起了一個古怪的名字一假素數，意思就是“冒牌的素數”。
1909年，巴拉切微茲證明了，在2000以內只有五個假素數：
341 = 11·31； 561 = 3·11·17；
1387 = 19·73； 1729= 7·13·19；
1905=3·5·127.
超過2000以上的假素數也陸續發現了一些，如：
2047 = 23·89； 2701 = 37·73；
4369=7·257； 4681= 31·151；
10261 = 31·331。
1950年，美國著名數論家拉美證明了
161038=2×73×1103。
可以證明， 這種假素數有無窮多個 。
數學家還研究了一種所謂的“絕對假素數"，設n是一個合數，n如果能夠整除
絕對假素數
絕對假素數n就叫做 絕對假素數。人們找到最小的一個絕對假素數是561 = 3·11·17，它能整除 ，a為任何正整數。這種絕對假素數真是鳳毛麟角。1978年，發現了第685個絕對假素數，它是當時所知道的最大的一個 ：
443656337893445593609056001.
