歷史沿革
19世紀，隨著工業科學和自然科學的蓬勃發展，推動了數學各個分支的迅速發展，特別是變數數學的迅速發展，促使人們迫切要求去建立一種能夠統括各個數學分支的理論基礎.由於義大利科學家伽利略(Galilei,G.)在17世紀發現了“自然數全體”與“平方數全體”能建立一一對應，從而推翻了自古以來的“全體大於部分”這一公理. 因為有窮集合決不會出現自身與其真子集一一對應的情況，以至於大大刺激了人們對於無窮集合的研究.看來“全體大於部分”這一思想規定是從有限性事物中抽象出來的，因而德國數學家戴德金(Dedekind , ( J. W.) R.)就用能否與自身之真子集建立一一對應來劃分有限集合與無限集合.但不論如何，19世紀以前，人們對於無限集合的研究和認識還是零碎不全的.正是在這樣的歷史背景下，德國數學家康托爾(Cantor,G. (F. P. ))系統地總結了長期以來的數學認識與實踐，締造了一門嶄新的數學學科—集合論.人們認為，集合論可以作為整個經典數學諸分支的共同的理論基礎.有關非歐幾何的相容性問題，最終要歸結到集合論的相容性問題.集合論的思想方法滲透到數學的各個分支，而且任何數學概念均可從集合論的基本概念出發來定義，任何數學定理均可從集合論的思想規定出發推導出來。
康托爾創建古典集合論的一個最重要的思想方法是用以造集的概括原則，即任給謂詞P，就能構造一集，它恰由滿足謂詞P的對象構成.但應指出，概括原則中用以造集的那個謂詞必須是精確性一元謂詞，任何非精確謂詞或模糊謂詞都不是概括原則意義下用以造集的謂詞.其次，在概括原則之下用以造集的精確性一元謂詞是完全任意的，而且對象域也沒有任何限制.
然而不能令人滿意的是:康托爾所創建的古典集合論中出現了悖論.當然，人們對於那些古昔相傳的悖論是不以為然的，認為這不過是人為構造之事. 但對集合論中所出現的布拉利·福爾蒂悖論、康托爾悖論等，卻不能不引起邏輯學家和數學家的重視，但又認為這仍然是一些技巧性問題，稍加處理就會解決問題的.然而在1902年，羅素悖論出現後，由於該悖論是因此基本，只要用邏輯術語去替代集合論術語，羅素悖論就要直接涉及邏輯理論本身，因而直接衝擊了以嚴謹素稱的數學與邏輯兩門學科，甚至動搖了用集合論為數學奠基的信心，因為數學不能奠定在自相矛盾的理論基礎上.這就大大加深了人們的危機感，並將由此而引起的困難局面恰當地稱為數學的第三次危機.如所知，人們把公元前5世紀關於無理數之發現過程所造成的驚奇不安局面稱為第一次數學危機，又把18世紀微積分誕生以來所出現的混亂局面稱為第二次數學危機，原認為作為嚴格的分析基礎之極限論的建立，便可解除數學的第一、二次危機，但極限論是以實數理論為基礎的，而嚴格的實數理論的建立又必須以集合論為基礎，不料，集合論又出現了上述一系列悖論，所以數學的第三次危機實際上是前兩次危機的深化和發展，所涉及之問題更廣更深.
另一方面，非歐幾何的誕生，直接否定了長期占統治地位之“數學真理是絕對真理”的觀點.例如，在康德(Kant,I.)過去就把歐氏幾何視為關於空間的絕對真理，即所謂先驗的綜合判斷.而現在，平行公理完全相背的兩種幾何竟然都是相對相容的.然而不論如何，數學是演繹推理性質的學科，所以從形式上看，數學命題的真理性還可建立在公理的真理性與邏輯規則的有效性之上.因而即使上述“數學真理是絕對真理”這一觀念受到衝擊之後，數學家還可用邏輯推理的嚴格性作為精神支柱，但在集合論中出現悖論之後，致使這一精神支柱也動搖了.正因為數學面臨著這樣的危機，才促使數學家們去探索數學推理在什麼情況下有效，在怎樣的情況下失靈.於是，在20世紀初，“數學基礎論”這一數學分科誕生了.擺在數學家面前的首要任務，就是如何為數學的有效性重建可靠的依據.由於在這一工作中所持之基本觀點不同，以至於在數學基礎的研究中形成了不同的流派;有所謂以英國數理邏輯學家羅素 (Russell,B. A. W.)為代表的邏輯主義派，以荷蘭數學家布勞威爾(Brouwer, I,. E. J.)為代表的直覺主義派，還有以德國數學家希爾伯特(Hilbert, D.)為代表的形式主義派.習慣上說成是數理邏輯三大派. 其實，如是之說不恰當，還有一定的歷史誤解.首先是這些流派都因數學基礎之研究而產生，多數不同見解都針對數學基礎問題而提出和形成.其次，現代形式主義派的數學觀和希爾伯特的數學觀並不一致，理應區分希爾伯特主義派和形式主義派，更應將這些流派稱為數學基礎諸流派.
自從集合論出現悖論以後，曾有一種意見是拋棄集合論，設法建立別的理論而作為數學的理論基礎，但又發現這實在難以實現.因而又回過頭來立足於改造集合論.此外，大家公認羅素對避免悖論的研究很有貢獻，幾乎可以說，現有的一些解決悖論的方法，無不淵源於羅素早年所提出的幾個可能解決悖論的方向.例如，德國數學學策梅洛(Zermelo,E. F. F.)等人所發展起來的近代公理集合論，就是羅素當年提出之量性限制論(即外延理論)這一思想的闡發.另外，羅素當年所提出之曲折理論(即內涵理論)，卻在美國數學家奎因(Quine,W. V. O.)等人的工作中得到展開.但羅素本人卻又另找出路，即引進他的“惡性循環原則”而發展了他的分支類型論.
知識要點
對於種種避免悖論而為精確性經典數學建立牢固理論基礎的種種方案而言，尚應指出如下幾點:
1.現有的幾種取得一定成效的避免悖論的方案都立足於修改概括原則，即限制其造集的任意性.但仍然不能令人滿意的原因此一是在取得一定成效的同時，損失了許多合理的數學內容.因而，如何給出一種修改概括原則的方案，以能使之既能避免悖論，又能全面保留合理的數學內容，這已成為一個遺留問題.但這一遺留問題的解決，在經典數學範圍內幾乎不能實現.不能令人滿意的原因此二是所謂成效，僅在於能在系統內避免歷史上幾經出現之種種悖論，迄今也未發現系統內有新的悖論出現，但卻未能在理論上證明，在此方案下所構造系統的展開永遠不會出現悖論.
2.近代公理集合論的發展是解決悖論的方案之一，它既能避免悖論，又能全面保留合理的數學內容，從而為精確性經典數學提供了一個相對牢固的理論基礎，但它不涉及數學研究對象的再擴充.較為著名的近代公理集合論有兩種，即所謂ZFC系統和 BG系統，這兩種公理集合論系統對客觀世界的描述能力本質上等效，又各有優缺點，但由於ZFC系統顯得較為直觀自然，因而被普遍採用.
3. 20世紀30年代，波茨娃爾(F}oHenap,B.)曾想在集合論中保留概括原則，立足於放棄配套於集合論的二值邏輯，代之以發展多值邏輯而開闢避免悖論的另一途徑.但在1954年，莫紹撰證明了波蘭數學家、邏輯學家武卡謝維奇(}ukaszewicz, J.)有窮
