基本介紹
等積形是指面積相等的平面圖形,兩個圖形等積,形狀不一定相同。例如,一個正方形長為6cm,它的面積是36cm ;一個梯形上底為4cm,下底為8cm,高為6cm,它的面積也是36cm ,那么這個正方形與這個梯形是等積形。又例如,同底等高的兩個三角形即為等積形,這一結論常用於直線圖形的等積變形。
常見等積形及證明
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(1)在圖1中,直線l // BC, 為l上的點,則
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(2)在圖2中,ABCD為梯形,O為對角線AC、BD的交點,如果DC// AB,則
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(3)在圖3中,P為平行四邊形ABCD對角線AC上一點,FF過P且平行於AB₂GH過P且平行於AD,則
S=S.
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幾何圖形中等積形的證明,大都可以歸結為上述三個基本圖形、要證的等積形可通過添輔助線設法變形為同底等高的三角形,或者象圖2、3那樣的梯形、平行四邊形,就不難證明了 。
相關定理
在等積形證明中,還有兩個基本定理須掌握:
(i)等底、等高的兩個三角形等積;
(ii)等底或等高的兩個三角形面積的比等於高的比或者底的比 。
例題解析
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【例1】與平行四邊形ABCD的對角線BD平行的直線PQ交BC於P,DC於Q,則(圖4)。
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證明 ∵PQ// BD,由基本圖形可得
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又ABCD為平行四邊形,
∴ AD // BC,AB // DC,
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及,
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∴.
【例2】在梯形ABCD中(圖5),DC //AB,對角線AC與BD交於O,E為AB上任意一點,則
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證明 ∵AB // DO,且E在AB上,
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∴,
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即
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也就是
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同理可證
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所以