基本介紹
空間旋轉反射是指空間的旋轉反射變換,空間的旋轉反射與空間的面反射變換的乘積稱為空間的旋轉反射(變換),此變換屬於第二類契約變換 。
空間旋轉變換是一種特殊的幾何變換,指空間的所有點繞同一直線旋轉同一角度的變換。旋轉變換簡稱旋轉,是歐氏幾何中的一種重要變換,即在歐氏平面上(歐氏空間中),讓每一點P繞一固定點(固定軸線)旋轉一個定角,變成另一點P′,如此產生的變換稱為平面上(空間中)的旋轉變換,此固定點(固定直線)稱為旋轉中心(旋轉軸),該定角稱為旋轉角。旋轉是第一種正交變換,在平面直角坐標系中,若旋轉中心為點M(x,y),點P(x,y)繞M旋轉定角θ後變成點P′(x′,y′),則平面上旋轉變換的代數表達式為
![空間旋轉反射](/img/0/6c4/wZwpmL2gDOxgzN5ITN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyUzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
旋轉變換的逆變換也是旋轉變換,兩個繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的乘積仍是旋轉變換,所有繞同一點(同一軸線)的旋轉變換的全體構成一個群,稱為旋轉群,在旋轉變換下,兩點間的距離與兩直線的交角均保持不變,旋轉變換的概念可以推廣到n維歐氏空間。繞O(0,0,…,0)點旋轉的代數表達式為
![空間旋轉反射](/img/8/e6d/wZwpmLxYTMxYjM3czN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
或用矩陣表示為:(x′)=(a)·(x),其中a為常數,且(x′),(x)均為n×1矩陣,矩陣(a)是行列式等於1的正交矩陣。
鏡面反射變換簡稱鏡面反射或平面反射,歐氏空間中的一種特殊變換。在歐氏空間中,把任一點A映成關於給定平面π對稱的點A′的變換稱為關於平面π的鏡面反射變換,平面π稱為反射平面。鏡面反射是第二種正交變換。在鏡面反射變換下,連結變換的每一對對應點A,A′所得到的線段都垂直於反射平面π且被π所平分,平面π上的點都是不動點,鏡面反射變換在直觀上相當於把平面π看做一面鏡子,變換前後的對應點就好比是物與像那樣,在空間直角坐標系中,若把坐標平面xOy取為反射平面,則鏡面反射變換的代數表達式為
![空間旋轉反射](/img/d/3be/wZwpmLzYDO3MzN5gDM3QTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4AzLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
其中(x,y,z),(x′,y′,z′)分別是變換前的點與變換後它的對應點的坐標 。
相關介紹
如果一個圖形F在契約變換f下對應於圖形F',那么稱圖形F與F'契約。
我們不難發現,契約變換下,兩個對應圖形F與F'的邊界方向(順時針方向或逆時針方向)或者是一致的,或者是反向的。因此,按照對應圖形的邊
界方向可以將契約變換分為兩類:將使得對應圖形F與F'的邊界方向相同的契約變換稱為第一類契約變換(如圖1),而將使得兩個對應圖形F與F’邊界方向相反的契約變換稱為第二類契約變換(如圖2)。因而,我們將在第一類契約變換下的對應圖形F與F‘稱為真正契約,而把第二類契約變換下的對應圖形F與F'稱為鏡像契約 。
![圖1](/img/6/672/wZwpmLxITNwQTOwcTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3UzLxEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![圖2](/img/a/b49/wZwpmLwATO0EzM2IjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL0MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
利用上述分類方式,我們容易得到,平移變換、旋轉變換(即兩個反射變換的乘積)是第一類契約變換,而反射變換是第二類契約變換。
既然平移變換、旋轉變換是兩個反射變換的乘積變換,那么(自然的思考),契約變換是否也是幾個反射變換的乘積變換呢?
我們猜測並可以證明:
性質1 任一契約變換至多可以表示為三個反射變換的乘積 。
![圖3](/img/b/f49/wZwpmL0MDO0ETNzIjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
證明 設契約變換ω由三對不共線的對應點A與A',B與B',C與C'所確定(圖3)。
![空間旋轉反射](/img/b/8cc/wZwpmL1MDM4QDOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/b/8cc/wZwpmL1MDM4QDOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/2/074/wZwpmL2YzMzMDNwMTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzUzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
作AA’的垂直平分線 ,那么,在以 為反射軸的反射變換下,△ABC變為△A'B₁C₁(若點A與A'重合,則沒有必要施行 )。此時,AB=A'B₁=A'B'。
![空間旋轉反射](/img/6/7d6/wZwpmL3AzM1ADOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/6/7d6/wZwpmL3AzM1ADOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/6/7d6/wZwpmL3AzM1ADOwYzMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2MzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/f/aaa/wZwpmL4MTOwMDM5gzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/f/aaa/wZwpmL4MTOwMDM5gzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
再作線段B₁B'的垂直平分線
,則點A'必在上,以為反射軸的反射變換將△A'B₁C₁變為△A'B'C₂(如果B₁與B'重合,也沒有必要施行變換。此時A'C'=AC=A'C₁=A'C₂,B'C'=BC=B₁C₁=B'C₂。
![空間旋轉反射](/img/e/52e/wZwpmLwgDM5MDMyczMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3MzL3UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/e/52e/wZwpmLwgDM5MDMyczMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3MzL3UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/f/aaa/wZwpmL4MTOwMDM5gzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/9/f51/wZwpmL4EDM0YTO1QTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0UzLxMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
最後作線段C'C₂的垂直平分線 ,點A'、B'必在直線 上。在反射變換 的作用下,△A'B'C₂變為△A'B'C'(若點C'與C₂重合,則不必施行變換 ,於是,
![空間旋轉反射](/img/2/ad0/wZwpmLyQzN1cDM3YjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2YzL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![空間旋轉反射](/img/9/c26/wZwpmLzATMyczN2kTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
即
綜上所述,對於第一類契約變換,總可以表示為兩個反射變換的乘積;對於第二類契約變換,總可以表示為一個反射變換或三個反射變換的乘積,於是得下表 :
![圖4](/img/7/19d/wZwpmLzQzNwMDMyQTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0UzLyczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)