組團空間

簡介

在晶體學，空間群（或晶體組或費奧多羅夫集團）晶體是一種晶體的對稱性描述，可以有230個類型之一。在數學中空間群進行了研究，他們在不到3有時被稱為比貝爾巴赫組尺寸等，並且是一個面向歐氏空間的等距離散cocompact組。對於一個權威來源的三維空間群為國際晶體學表（哈恩（2002））。

歷史

在3維空間組第一枚舉費奧多羅夫（1891年），並進行了獨立不久的巴洛（1894）和Schönflies（1891）列舉。這些第一枚舉所有包含的幾個小錯誤，空間群為230正確的列表是在費奧多羅夫和Schönflies之間找到對應。

在2維空間的17個團體壁紙已經幾百年知名團體。

組團空間元素

在三維的空間群是由32個與14個複式晶格晶體學點群屬於7格系統的組合。在一個空間的一些細胞一個單位晶格平移對稱性中心聯合組包括這樣的結果，點組反映，旋轉和旋轉對稱操作不當（也稱為rotoinversion）和螺旋軸對稱操作和滑翔機。所有這些對稱操作在230獨特的描述所有可能的空間群的晶體對稱性的總體結果組合。

元素固定點

空間組的元素固定的空間點是旋轉，反射，單位元，和不適當的輪換。

傳送

傳送形成了3級正常交換子群，稱為複式晶格。有14種布拉維點陣可能類型。該組由空間商是一個複式晶格有限集團，是32個點的群體之一。

滑翔機

滑翔機是在一個平面上的反映，通過翻譯與該平面平行其次。這是指出按A，B或C，這取決於沿軸的滑動。還有的N滑行，這是一個滑翔沿一個面對角線的一半，而D滑行，這是第四次的方式，無論是沿面或空間晶胞對角線。後者被稱為鑽石飛機滑行，因為它在金剛石結構特徵。

螺旋軸

一個螺旋軸是繞軸旋轉，由沿軸方向的平移之後。這是一個數字指出，氮，來描述旋轉，那裡的號碼是多少行動必須適用於完成一個完整的旋轉（如3將意味著一個圍繞旋轉軸每次三分之一的方式之一）學位。翻譯的程度，然後添加作為下標顯示多遠沿軸的翻譯，作為平行晶格向量部分。所以，21是一種雙重的旋轉了1 / 2的晶格向量翻譯跟著。

組團空間示法

至少有八組的命名空間的方法。這些方法有的可以分配多個不同的名稱相同的空間群，所以總共有成千上萬的不同的名字。

·號碼。國際晶體學聯合會的出版集團的所有類型的表空間，並賦予每一個唯一的編號從1到230。該編號是任意的，除了具有相同晶系或點組，給予連續的數字組。

·國際符號或赫爾曼Mauguin符號。赫爾曼- Mauguin（或國際）符號描述了晶格及一些發電機組。它有一個縮短的形式被稱為國際短片的象徵，這是一個最常用的晶體使用，通常是四組符號組成。首先介紹了複式晶格（磷，甲，乙，丙，我，R或F）的中心。接下來的三個描述最突出的對稱操作時可以看到沿晶體的高對稱方向之一預測。這些符號中所用的點群與滑翔飛機和螺旋軸，上述此外，同樣的。通過舉例的方式，石英空間群為P3121，表明它表現出原始的主題為中心（即每一次單元格），有三重螺旋軸和雙重旋轉軸。請注意，它並沒有明確包含晶系，雖然這是唯一的每一個空間組（在P3121的情況下，它是三角）。

在國際短期第一個符號象徵（在本例31）表示沿主要軸線對稱（中c -軸三角例），第二（在這種情況下，2）沿次要軸（A和B）和第三個符號，在另一個方向的對稱性。在三方的情況，還存在一個空間群P3112。在這個空間的雙重軸集團不沿a和b -軸的方向，但在一個30度旋轉。

國際符號和一些國際組織的空間短暫的象徵是1935年和2002年之間的變化不大，有幾個不同的空間群有4個在使用國際符號。

·霍爾符號。空間一組明確的原產地標記。旋轉，平移和坐標軸方向是明確分開的符號和反演中心的明確定義。的建設和符號格式使其特別適合於計算機的對稱信息的產生。例如，組3號館有三個標誌：對2Y邊界性（P 1 2 1），磷2（p 1的1 2），磷2倍性（P 2 1 1）。

·Schönflies符號。給定的空間點群組編號1，2，3，... （在同一順序的國際號碼），並且這個數字還在增加一條，作為一個到該點群Schönflies標誌標。例如，3至5組號碼的點群為C2有Schönflies符號C12，C22，C32。

二維：Orbifold符號和三維：Fibrifold符號。正如其名稱所暗示的，orbifold符號描述orbifold，由歐氏空間，空間群商給予，而不是發電機組的空間。它是由康威和瑟斯頓，並沒有使用備受外界數學。一些團體的空間有幾個不同的關聯到他們fibrifolds，所以有幾個不同的fibrifold符號。

表三維組團空間

晶系	點群	#	Space groups (international short symbol)
Hermann- Mauguin	Schönflies
三斜晶系(2)	1	C1	1	P1
1	Ci	2	P1
單斜晶系(13)	2	C2	40242	P2, P21, C2
m	Cs	40338	Pm, Pc, Cm, Cc
2/m	C2h	40466	P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
斜方晶系(58)	222	D2	16-24	P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121
mm2	C2v	25-46	Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
mmm	D2h	47-74	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn,Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca,Imma
四角形(68)	4	C4	75-80	P4, P41, P42, P43, I4, I41
4	S4	81-82	P4, I4
4/m	C4h	83-88	P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a
422	D4	89-98	P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
4mm	C4v	99-110	P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd
42m	D2d	111-122	P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d
4/mmm	D4h	123-142	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
三角形(25)	3	C3	143-146	P3, P31, P32, R3
3	S6	147-148	P3, R3
32	D3	149-155	P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32
3m	C3v	156-161	P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
3m	D3d	162-167	P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c,
六角形(27)	6	C6	168-173	P6, P61, P65, P62, P64, P63
6	C3h	174	P6
6/m	C6h	175-176	P6/m, P63/m
622	D6	177-182	P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322
6mm	C6v	183-186	P6mm, P6cc, P63cm, P63mc
6m2	D3h	187-190	P6m2, P6c2, P62m, P62c
6/mmm	D6h	191-194	P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
立方體的(36)	23	T	195-199	P23, F23, I23, P213, I213
m3	Th	200-206	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
432	O	207-214	P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
43m	Td	215-220	P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d
m3m	Oh	221-230	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d