簡介
有編號為⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿的小球，其中有11個小球的重量相同，只有一個小球的重量和其它不一樣，使用一個無砝碼的天平稱3次，問怎樣稱能把該球找出來，並說出該球較其它球重還是輕。
動態稱法
此做法是最常見的處理手法，在各種答案中下表所列是其中的一種表述，對號入座即可：
| 第一次稱球情況 | 第二次稱球情況 | 第三次稱球情況 | 結論 | |||
| 首先 左⑴⑵⑶⑷：右⑸⑹⑺⑻ | 若左重 | 其次 左⑴⑸⑼：右⑵⑶⑹ | 若左重 | 最後 左⑷：右⑴ | 若平衡 | 則⑹輕 |
| 若右重 | 則⑴重 | |||||
| 若平衡 | 最後 左⑷⑻：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑷重 | |||
| 若平衡 | 則⑺輕 | |||||
| 若右重 | 則⑻輕 | |||||
| 若右重 | 最後 左⑷⑻：右⑵⑸ | 若左重 | 則⑸輕 | |||
| 若平衡 | 則⑶重 | |||||
| 若右重 | 則⑵重 | |||||
| 若平衡 | 其次 左⑼⑾：右⑵⑽ | 若左重 | 最後 左⑼⑽：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑼重 | |
| 若平衡 | 則⑾重 | |||||
| 若右重 | 則⑽輕 | |||||
| 若平衡 | 最後 左⑷：右⑿ | 若左重 | 則⑿輕 | |||
| 若右重 | 則⑿重 | |||||
| 若右重 | 最後 左⑼⑽：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑽重 | |||
| 若平衡 | 則⑾輕 | |||||
| 若右重 | 則⑼輕 | |||||
| 若右重 | 其次 左⑴⑸⑼：右⑵⑶⑹ | 若左重 | 最後 左⑻⑼：右⑵⑸ | 若左重 | 則⑵輕 | |
| 若平衡 | 則⑶輕 | |||||
| 若右重 | 則⑸重 | |||||
| 若平衡 | 最後 左⑷⑻：右⑴⑵ | 若左重 | 則⑻重 | |||
| 若平衡 | 則⑺重 | |||||
| 若右重 | 則⑷輕 | |||||
| 若右重 | 最後 左⑷：右⑴ | 若左重 | 則⑴輕 | |||
| 若平衡 | 則⑹重 | |||||
判斷依據見後。
固定稱法
其實上面 動態稱法的方案就是專為本 固定稱法方案量身定做的。但本固定稱法的判斷並不依賴動態稱法，可獨立做出判斷。如圖所示，上表經整理後版面簡潔得多，判斷依據見後。
稱球問題判斷依據
這是 動態稱法與 固定稱法共用的判斷依據。
首先我們可以在草稿紙上寫出所有嫌疑球號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，下列各情況相互獨立，互不影響。三次稱球，根據天平 依次呈現的狀態來對號入座。
若左重、左重、右重，為什麼判定是1號球重？
第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第一、二次均左重，劃掉2、3、5，剩下1、6可疑
第三次右重，劃掉6，僅剩1，可判定重
同理，若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕；
若左重、右重、右重，為什麼判定是2號球重？
第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第三次右重，劃掉3、6，剩下1、2、5可疑
第二、三次均右重，劃掉1、5，僅剩2，可判定重
同理，若左輕、右輕、右輕，判定是2號球輕；
若左重、右重、平衡，為什麼判定是3號球重？
第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第三次平衡，劃掉1、2、5，剩下3、6可疑
第一、二次分別左右重，劃掉6，僅剩3，可判定重
同理，若左輕、右輕、平衡，判定是3號球輕；
若左重、平衡、左重，為什麼判定是4號球重？
第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
第三次左重，劃掉7，剩下4、8可疑
第一、三次均左重，劃掉8，僅剩4，可判定重
同理，若左輕、平衡、左輕，判定是4號球輕；
若右重、左重、右重，為什麼判定是5號球重？
第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第三次右重，劃掉3、6，剩下1、2、5可疑
第一、三次均右重，劃掉1、2，僅剩5，可判定重
同理，若右輕、左輕、右輕，判定是5號球輕；
若右重、右重、平衡，為什麼判定是6號球重？
第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次右重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
第三次平衡，劃掉1、2、5，剩下3、6可疑
第一、二次均右重，劃掉3，僅剩6，可判定重
同理，若右輕、右輕、平衡，判定是6號球輕；
若右重、平衡、平衡，為什麼判定是7號球重？
第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
第三次平衡，劃掉4、8，僅剩7，可判定重
同理，若右輕、平衡、平衡，判定是7號球輕；
若右重、平衡、左重，為什麼判定是8號球重？
第一次右重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
第二次平衡，劃掉1、2、3、5、6，剩下4、7、8可疑
第三次左重，劃掉7，剩下4、8可疑
第一、三次分別左右重，劃掉4，僅剩8，可判定重
同理，若右輕、平衡、左輕，判定是8號球輕；
若平衡、左重、左重，為什麼判定是9號球重？
第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
第二次左重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
第三次左重，劃掉11，剩下9、10可疑
第二、三次均左重，劃掉10，僅剩9，可判定重
同理，若平衡、左輕、左輕，判定是9號球輕；
若平衡、右重、左重，為什麼判定是10號球重？
第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
第二次右重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
第三次左重，劃掉11，剩下9、10可疑
第二、三次次分別左右重，劃掉9，僅剩10，可判定重
同理，若平衡、右輕、左輕，判定是10號球輕；
若平衡、左重、平衡，為什麼判定是11號球重？
第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
第二次左重，劃掉12，剩下9、10、11可疑
第三次平衡，劃掉9、10，僅剩11，可判定重
同理，若平衡、左輕、平衡，判定是11號球輕；
若平衡、平衡、右重，為什麼判定是12號球重？
第一次平衡，劃掉1、2、3、4、5、6、7、8，剩下9、10、11、12可疑
第二次平衡，劃掉9、10、11，僅剩12
第三次右重，可判定重
同理，若平衡、平衡、右輕，判定是12號球輕。
經此表述將會發現，其實根本無需背誦，只需記住圖中固定稱球方案，即可臨機做出判定。
數學表達
稱球問題將 固定稱法用矩陣方程寫出來思路會更清晰：
稱球問題其中：
方程的含義為天平稱球的描述： 左盤總重量減 右盤總重量= 差值
稱球問題首先：在12個球中，只有1個球與其它球重量不一樣，在邏輯上使用±1來代表重量差
稱球問題
稱球問題
稱球問題 稱球問題 稱球問題其次： 為3行12列係數矩陣，第 行第 列元素表示第 次第 號球的位置。1代表小球被放在左盤，-1代表小球被放在右盤，0代表小球不參與稱重
稱球問題為12行1列矩陣，表示12個球的重量
稱球問題為3行1列矩陣，表示3次稱球的結果。左盤重時得1；左右盤平衡時得0；右盤重時得-1
稱球問題 稱球問題 稱球問題 稱球問題 稱球問題 稱球問題 稱球問題 稱球問題最後：當 與 的第 列相等時，則第 球重；當 與 的第 列的負向量相等時，則第 球輕。
思路分析
稱球問題根據方程的含義，上述 數學表達是明確的， 是方程的核心，現簡要闡述係數矩陣的一些特徵。
稱球問題
稱球問題 稱球問題 稱球問題
稱球問題
稱球問題設 、 分別是係數矩陣 的第 列、第 列列向量，
稱球問題 稱球問題 稱球問題
稱球問題設 為 的第 行行向量，
稱球問題只要同時滿足下列4個條件的 就是我們要尋找的係數矩陣。
稱球問題1、 的所有分量求和=0，即任意一次稱球，天平兩端的球的個數相同；
稱球問題
稱球問題2、 ，任意列向量非零（此處的 為零向量），即任意某個球至少被稱過1次；
稱球問題3、 ，任意兩個列向量不相等；
稱球問題4、 ，任意一個列向量與其它列向量的負向量不相等。
稱球問題條件3、條件4是保證根據 做出無歧義判斷的關鍵。同時滿足這4個條件的係數矩陣有很多，但只要找到一個，就可寫出 數學表達方程式，也可以反演出 固定稱法，進而可反寫出 動態稱法。
縱觀全局，三個方案在表達方式上差別很大，但他們的本質卻是同一個答案。動態稱法直觀，但表達繁瑣，思路顯得凌亂；固定稱法簡潔明了，但理解上需要一定精力；經過解釋的數學表達思路明確，較容易抓住主線。
拓展
稱球問題
稱球問題
稱球問題對於這一類稱球問題，歸納為使用天平 次，採取 固定稱法可在 個球中找出1個重量不一樣的球，並說出較其它球輕還是重。如果僅要求找出問題球，則可改為在 球中辨別出1個問題球。
