定義
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設復變冪級數的收斂半徑是R,且在收斂域內,當矩陣A的譜半徑,定義,並稱為矩陣A的函式 。
常用的矩陣函式
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(1)矩陣指數函式:對於任意A ,有:
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(2)正弦函式,是一種矩陣三角函式:對於任意A,有:
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(3)餘弦函式,是一種矩陣三角函式:對於任意A,有:
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定理
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1、定理1:假設,則有:
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(1);
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(2)。
注意:因為矩陣的乘法不滿足交換律, 因此矩陣函式不一定滿足一般函式的所有性質。
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2、定理2:設,且AB=BA,則有:
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(1);
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(2);
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(3)。
3、根據定理 2 ,很容易證得下面結論:
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推論 :設,則有:
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(1);
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(2);
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(3)。
求解矩陣函式的方法
利用矩陣標準型
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用矩陣標準型求矩陣函式的具體步驟如下:
(1)設方陣A相似於對角陣,即
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,其中矩陣內的值是A的n個特徵值,則
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(2)當A不能與對角陣相似時,則A必與Jordan標準型相似,設
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最後
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利用最小多項式
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用最小多項式求矩陣函式的具體步驟如下:
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第一步 計算矩陣A的最小多項式,確定其次數m及特徵值;
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第二步 設,確定出係數;
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第三步 代入可求得。