定義
如果 ,即a的x次方等於N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數(logarithm),記作 。其中,a叫做對數的底數,N叫做 真數,x叫做“以a為底N的 對數”。
1.常用對數
2.自然對數
3.零沒有對數。
4.在實數範圍內,負數無對數。在複數範圍內,負數是有對數的。
相關性質
對數的基本性質:
(1)
(2)
(3)
(4) 。
就可把乘、除、乘方、開方分別化為加、減、乘、除。以10為底的對數稱為“常用對數”或“布立格斯(Briggs)對數”。以超越數 為底的對數,稱為“自然對數”或“ 訥皮爾(Napier)對數”。常用對數和自然對數都有對數表可查。
對數
設 是一個不為1的正數,如果 ,則稱 為以 為底時, 的對數(logarithm;artifical number),記為 , 稱為 真數。從實對數定義可知,零和負數沒有實對數。例如當以10為底時,由於100=10,因此100(以10為底)的對數是2;由0.001=10可知,0.001的對數為-3。
利用對數,可以把乘、除、乘方、開方分別分為加、減、乘、除。因此,對數能用來簡化計算。在16世紀,商業、航海學與天文學得到迅速的發展,為了適應簡化複利、天文與球面三角計算的需要,形成了對數的概念。恩格斯高度評價了對數的作用,把它與解析幾何、微積分並稱為近代“最重要的數學方法”。由於對數能大大簡化計算,歷史上曾把它當成計算的法寶,但至今,它的地位已被計算機(器)所取代。
以10為底的對數,稱為 常用對數。在高等數學中,常使用以e為底的對數,即 自然對數。常用對數與自然對數可利用換底公式互換。對數不僅可用來簡化計算,而且在微積分、微分方程及複變函數論等方面,都是有用的運算工具,在表示自然現象的方程或公式中經常出現。
1742年,瓊斯(Jones,W.)在給伽代爾(Gardiner,W.)的《對數表》寫的序言中第一次採用了這樣的對數定義.對數的創始人是納皮爾(Napier,J.),他在解決天文學中的計算問題時提出並使用了對數.1614年,納皮爾在《論述對數的奇蹟》以及在他死後於1619年出版的著作《做出對數的奇蹟》中都介紹了他的對數方法。納皮爾定義的對數現在稱為納皮爾對數,記為Nap log y,它與自然對數的關係是
比爾吉(Bürgi,J.)也於1600年左右獨立地發現了對數,但他的著作卻在1620年才發表。對數與對數表於1648年由穆尼閣(Smogolenski,J.-N.)講授傳入中國後,在由薛鳳祚整理的《歷學會通》的《比例對數表》中將lograithm譯為“比例數”,它給出了1—20000的六位對數表,在《比例四線新表》中給出了三角函式的對數表。當時,logN=b中的N稱為真數,而b稱為“假數”,後來把b稱為N的對數。1723年印出的由梅彀成(有的書寫成梅珏成)等編著的《數理精蘊》一書,較詳細地敘述了對數的內容和編造對數表的方法。