基本公式
所有機器和設備經受的典型的交變載荷稱為疲勞載荷，與其相應的應力稱為交變應力或疲勞應力，該交變載荷的變化過程稱為載荷譜，它可能是無規律的、混亂的或者（最常見的）隨機的，即可能表現出某些規律性。 我們介紹一些非恆定的或恆定的過程。一個載荷譜在確定的時間間隔內呈規律性的、相等的重複叫做周期，這種具有周期性交變特徵的載荷稱為循環載荷。因 -此，每一循環包含著一個載荷變化的完整周期和相應的應力變化的完整周期。正弦載荷是周期性變載的一種特殊情況，已將它作為測定結構材料和元件疲勞性能的基礎。
一個正弦應力周期（圖1）是用該循環的最大應力σ、最小應力σ、變化周期T或它的倒數——頻率f來描述的。某些有關的標準中就包含著用於金屬疲勞試驗中的這些或其他一些基本概念。
周期應力的變化特徵是由該循環的平均應力σ確定的，
疲勞應力這相當於周期性應力的靜力分量，並以交變應力幅表示
疲勞應力
疲勞應力
疲勞應力σ是一個可變分量（為一個全反覆的動態變數），因此， ； ，而應力範圍是
疲勞應力一個循環的非對稱性用應力比表征
疲勞應力在疲勞計算中，W．Moszyfiski等也曾採用過一個載荷恆定係數x，
疲勞應力或者
疲勞應力上述概念和符號可以寫成循環應力與時間c的函式關係及其普遍方程，
疲勞應力式中：F(t)代表與時間有關的應力幅的變化，當應力是正弦變化時，在諧振的情況下，
疲勞應力這裡ω表示應力變化的角頻率(ω=2π/T=2πf)，φ表示起始相位角，
疲勞應力用這些方程可以求出任何瞬時的循環應力。
疲勞應力的各種類型
下表所列的一些應力循環的不同類型，其區別如下：
疲勞應力在一個單向循環中，應力大小有變化，但保持相同符號，這種循環稱為脈動，如周期拉伸、周期壓縮等，單向循環的一個特殊情況就是零到拉伸循環，即σ=0或σ=0，從而|σ|=0
在雙向循環中，應力的大小和符號均發生改變，這種類型的一個特殊情況就是全反覆循環，即|σ|=|σ|因此這是一個對稱循環。這一類型的另一循環是非對稱的，即σ≠σ，從而|σ|≠0。
具有相同應力比R的循環是相似的。
疲勞極限或疲勞強度如是在（按常規限定的）周期極限數值N內元件不致於失效的最大應力σ（對一定的應力循環），因此這是一個實用的疲勞極限，周期的極限數值N是疲勞試驗的基礎，對於結構鋼和其他鐵合金來說為10×10 次循環；而對於非鐵合金來說則為100×10 次循環；對各種結構元件，N採取2×10 次循環。確定S失效的準則是試樣的斷裂或者出現可檢測的裂紋，即這些裂紋可以採用探傷（如磁力或超聲）或者光學的方法加以探測。
疲勞極限可用不同類型的載入來測定，最常用的是全反覆循環，很少採用零到拉伸循環，載入類型在疲勞極限符號上加上適當的角注。在全反覆彎曲下的疲勞極限以S表示；在單向零到拉伸彎曲下為S稍對於任何單獨測定循環的彎曲疲勞極限以S表示；以其他類型載入的疲勞極限則用類似方式表示。
S-N曲線
進行材料或零構件疲勞分析時必不可少的是反映材料抗疲勞性能的疲勞強度一壽命曲線，該曲線以達到破壞時的循環數N為橫坐標，以對試樣施加的最大應力為縱坐標。在強度設計中，彎曲應力、拉仲應力和壓縮應力用盯表示j扭轉應力用r表示，應變用￡表示，由於“應力”和“應變”，英文字母中首字都是“S”，所以這三種疲勞強度一壽命曲線σ一N曲線、τ—N曲線和e—N曲線常統稱為S—N曲線。但在一般情況下，S多指應力(Stress)。
材料的應力一壽命曲線一般是在旋轉彎曲疲勞試驗機上用標準試樣試驗得到的。試驗前準備一組材料和尺寸完全相同的磨光試樣，在旋轉彎曲試驗機上加循環彎曲應力，直到試樣破壞為l卜。對每個試樣試加不同的應力就可得到相應應力下的循環次數N。以最大應力σ為縱坐標，以破壞時的循環數N為橫坐標，即可把試驗結果繪製成材料的S—N曲線。
材料經無限次應力循環而不破壞時相應的最大應力為光滑試樣對稱循環時的疲勞極限，用σ表示。一般規定：鋼試樣經過10 循環仍不破壞時，就認為它可以承受無限次循環。如結構鋼的S一N曲線有一水平的漸近線，其縱坐標即為疲勞極限σ。但實際上，有些材料的S—N曲線沒有水平部分，常以一定的循環數(如2×10 7或10 8)下的應力作為疲勞極限。
如將S—N曲線的縱坐標和橫坐標都取成對數，則S—N曲線就成為由條斜直線和一條水平線組成，兩條直線的交點以N表示，稱為循環基數。鋼的N約為10 ，兩直線交點的縱坐標即為疲勞極限σ。斜直線的傾斜角度表示材料的抗疲勞性能，斜直線的方程式為
疲勞應力式中，m和C是材料常數，與材料性質、試樣形式和載入方式有關。
但試驗研究表明，低於疲勞極限的小載荷對累積損傷也有貢獻，因而需對長壽命區的S—N曲線予以修正，修正的方法有兩種。
下圖所示的線a為常幅疲勞試驗給出的S一N曲線，它表示當應力小於疲勞極限時，為一水平線。曲線b是NASA建議使用的方法，同時也為北美公路橋樑標準所採用，它是將疲勞極限以上的S—N曲線延長以表示疲勞極限以下的損傷影響。曲線C是歐洲鋼結構規範(ECCS)建議的方法，它是用原S—N曲線下的直線延長線與水平線之間夾角的角平分線來表示小載荷的影響規律。為了計算方便，ECCS規定：如果疲勞極限以上的區段S—N曲線的斜率為卅，則曲線C的斜率為2m-1。
疲勞應力