畫法幾何[一種學科]

畫法幾何（descriptive geometry）是研究在平面上用圖形表示形體和解決空間幾何問題的理論和方法的學科，也是機械製圖的投影理論基礎。

在畫法幾何的學科套用中，有幾種方法，分別是投影法、多面正投影圖、投影變換、截交線和相貫線、展開圖。

簡介

畫法幾何[一種學科]

畫法幾何是機械製圖的投影理論基礎，它套用投影的方法研究多面正投影圖、軸測圖、透視圖和標高投影圖的繪製原理，其中多面正投影圖是主要研究內容。畫法幾何的內容還包含投影變換、截交線、相貫線和展開圖等。

在工程和科學技術方面，經常需要在平面上表現空間的形體。例如，我們需要在紙上畫出房屋或建築物的圖樣，以便根據這些圖樣施工建造。但是平面是二維的，而空間形體是三維的，為了使三維形體能在二維的平面上得到正確的顯示，就必須規定和採用一些方法，這些方法就是畫法幾何所要研究的。

工程實踐中不僅要在平面上表示空間形體，而且還需要套用這些表達在平面上的圖形來解決空間的幾何問題。例如，我們往往需要根據由測量結果而繪製的地形圖來設計道路或運河的線路，決定什麼地方需要開挖和填築，以及計算土方等。這些根據形體在平面上的圖形來圖解空間幾何問題，也是畫法幾何所要研究的。

綜上，畫法幾何研究的內容即：

1、研究在二維平面上表達三位空間形體的方法，也就是圖示法。

2、研究在平面上利用圖形來解決空間幾何問題的方法，也就是圖解法。

簡史

1103年，中國宋代李誡所著《營造法式》中的建築圖基本上符合幾何規則，但在當時尚未形成畫法的理論。

1763年，里昂學院年輕的物理學教授蒙日，在一次探親回家的途中，遇見一位搞工程的官員，對方曾看見蒙日16歲時完全憑自己的能力畫的一幅有名的地圖，他建議蒙日到梅濟耶爾的軍事學校去。蒙日沒有仔細考慮就答應了。到梅濟耶爾之後，他很快就知道自己永遠得不到軍官委任狀，因為他出身低微。他只能做實際工作，天天跟蹤測量並和製圖打交道。不過，他覺得很快活，因為這種工作使他有大量時間研究數學。學校常規課程中很重要的一部分築城術，其中的關鍵是把防禦工事設計得十分隱蔽，沒有任何部分暴露在敵方的直接火力之下，而這往往需要沒完沒了的的算術運算。有時為了解決問題，只好把已經建成的工事拆毀，再從頭開始。精通幾何的蒙日在思考如何簡化這項軍事工程的過程中發明了畫法幾何。按照他的方法，空間的立體或其他圖形就可以由兩個投影描畫在同一個平面上。這樣，有關工事的複雜計算就被作圖方法所取代。經過短期訓練，任何製圖員都能勝任這種工作。蒙日把他的發明呈交給一位高級官員。那人不相信一個繁難的工事問題能夠得到解答，於是就審查。蒙日繼續堅持，說他沒有用算術。官員只好讓步。審查結果發現，他的解答是正確的。蒙日立刻得到一個小小的教學職位，任務是把這個新方法教給未來的軍事工程師們。他被要求宣誓不泄露他的方法，畫法幾何因此作為一個軍事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年蒙日才得到允許在巴黎師範學院將之公諸於世。沒有蒙日最初為軍事工程作的發明，19世紀機器的大規模出現也許是不可能的。畫法幾何是使機械工程成為現實的全部機械制和圖解方法的根源。

1799年法國學者G.蒙日發表《畫法幾何》一書，提出用多面正投影圖表達空間形體，為畫法幾何奠定了理論基礎。以後各國學者又在投影變換、軸測圖以及其他方面不斷提出新的理論和方法，使這門學科日趨完善。

機械製圖

是研究機械圖樣繪製理論和方法的學科。圖樣由圖形、符號、文字和數字組成，它確切表示了機械的結構形狀、尺寸大小、工作原理和技術要求，是機械設計過程中的重要技術資料，是人們在生產活動中表達和交流思想的重要工具，常被稱為工程界的語言。機械製圖的理論基礎是畫法幾何的投影理論，其主要部分是套用正投影理論來研究機器零件、部件的表示方法。

機械製圖的主要內容包括製圖一般規定、視圖的種類、配置和畫法、尺寸標準及編寫技術要求等部分，並且都有相應的國家標準。

機械製圖的一般規定包括圖紙幅面及格式、圖樣比例、字型和圖線等。圖紙的基本幅面有6種 (0～5號)，並可按規定加長或加寬，圖框及標題欄都有嚴格規定的格式。比例是指圖形與機件實際尺寸之比，通常採用 1：1，但也可按規定的比例放大或縮小。中文字型手書時要求用長仿宋體。線型有粗實線、細實線、細點劃線等8種，分別用於不同的情況。例如粗實線表示可見輪廓線或可見過渡線，細點劃線可以表示軸線或對稱中心線等。

視圖通常是按正投影法繪製，我國製圖標準規定採用第一角畫法，即機件位於觀察者和投影面之間，有主視圖、俯視圖和左側視圖等。英、美等國多採用第三角畫法，即投影面位於機件和觀察者之間 (如圖2)，有主視圖、俯視圖和右側視圖。為了完整地表達機件，還有剖視圖、剖面、斜視圖及局部視圖等。機械製圖標準還規定了螺紋、彈簧、花鍵、齒輪等零件或結構的專門畫法。在裝配圖中還允許對某些標準件，例如滾動軸承，採用簡化畫法，以提高製圖效率。圖樣的種類有零件圖、裝配圖、布置圖、示意圖和軸測圖等。軸測圖是一種立體圖，直觀性強，是常用的輔助用圖。

圖樣是按一定比例繪製的，在機械加工中須嚴格按尺寸加工，不允許從圖樣中量取，機件的尺寸用尺寸線、尺寸界線和箭頭指明所標註的範圍，用數字表示尺寸的大小。對直徑、半徑、錐度、斜度和角度還應在數字前加注專用符號，例如用φ表示直徑。圖樣中的技術要求包括公差配合、形位公差、表面粗糙度、材料及熱處理等。

圖樣的繪製和複製技術在近代得到了飛速的發展。20世紀60年代出現了計算機繪圖技術，與計算機輔助設計相配合，將設計的機件或零件以程式形式輸入計算機系統，即可控制自動繪圖儀，輸出所需要的圖樣。現代已經可以直接使用設計圖用靜電複印機複製成透明底圖或藍圖; 也可以用微縮技術將設計圖保存在特製的膠片上，隨時可以調出放大並複製成所需要的大小的藍圖。

方法

投影法

畫法幾何

投影法是從光線照射空間形體在平面上獲得陰影這一物理現象而來的。以光源S點為投影中心，S點與形 體上某個A點的連線SA為投影線（即光線），顯現陰影的P平面為投影面，SA投影線與P平面的交點ɑ就是A點在投影面上的投影。依此方法作出形體上其餘點、線的投影，便得到形體在投影面上的投影(圖1a)。這種投影法因所有投影線都經過投影中心S點，故稱為中心投影法。若S點移向無限遠處，即所有投影線都互相平行時，則稱為平行投影法。平行投影法又按投影線是否垂直於投影面分為斜投影法（圖1b）和正投影法（圖1c）。 用中心投影法可以得到透視圖，用平行投影法可以得到軸測圖，這兩種圖的立體感都很好。為顯示形體的立體形象，在建築工程中常使用透視圖，在機械工程中常使用軸測圖。用正投影法將空間形體（一般是地形或曲面）投影到水平放置的投影面上，並在相應點、線的投影旁加注它們到投影面的高度數值，這種圖稱為標高投影圖。它套用在地形測量、土木、水利、地質和採礦等工程中。以上3種圖都是單面投影圖。用空間形體的幾個正投影聯合表達其形狀和位置的圖稱為多面正投影圖。這種圖廣泛套用在各項工程中。

多面正投影圖

畫法幾何

空間形體具有長、寬、高三個方向的形狀大小，但它的投影只能反映兩個方向的形狀大小。為確切和全 面地表達空間形體，必須採用多面正投影圖。

取互相垂直的兩個投影面（正立投影面和水平投影面），用正投影法分別作出空間形體（圖2中為三稜錐）在正面和水平兩個投影面上的投影（圖2中黑色圖形部分）。再將水平投影面繞兩投影面的交線OX向下旋轉90°，使它和正立投影面處在同一平面上，則得到空間形體的二面正投影圖。在二投影面的基礎上增加一個與正立投影面和水平投影面都垂直的側立投影面，再作出形體的側面投影（圖2中顏色圖形部分），然後將側立投影面繞它和正立投影面的交線OZ向右旋轉90°，使它也與正立投影面處在同一平面上即可得到空間形體的三面正投影圖。多面正投影圖可以確切地表達空間形體的形狀和位置。特別是當形體上直線、平面等處在與投影面平行或垂直的某個特殊位置時，還能在其投影中反映出平面圖形的實際形狀，以及線、面或兩面間夾角的真實大小。對於不處在特殊位置的線和面，就不具有上述特徵，這時需要採用投影變換的方法解決。

投影變換

畫法幾何

投影變換是通過改變空間形體和投影面的相對位置使問題得以解決的新投影方法。投影變換主要有換面法和旋轉法。

①換面法：空間形體不動，用新的符合解題要求的投影面來替換原有的投影面，得出空間形體新的投影。例如，在圖3中，三角板在採用換面法前與正立投影面傾斜，與水平投影面垂直，它的正立、水平兩個投影都不反映三角板的真實形狀。改用垂直於水平投影面並平行於三角板的新投影面來替換原有的正立投影面，則在新投影面和水平投影面的二面正投影圖中便反映出三角板的真實形狀。換面法的變換規律是：點的新投影到新投影軸的距離等於點的被替換投影到被替換軸的距離。

②旋轉法：保持投影面不動，讓空間形體繞某條軸線旋轉到需要的位置，求出新的投影。例如，圖3中，若將三角板繞其本身的垂直於水平投影面的直角邊旋轉到與正立投影面平行的位置，這時新的正立投影就能反映三角板的真實形狀。

截交線和相貫線

平面與空間形體表面的交線稱為截交線，兩空間形體表面的交線稱為相貫線。在很多情況下雖然能根據空間形體和投影面的相對位置作出空間形體的多面正投影圖，但它們之間的截交線和相貫線卻不能直接畫出，需要藉助於輔助面法或其他作圖方法畫出。

展開圖

將空間形體的表面在平面上攤平後得到的圖形稱為展開圖。對於用板料製作的零件，除需要用多面正投影圖表示零件的形狀外，還常用展開圖表示零件製作前板料的形狀。依據空間形體的多面正投影圖繪製其展開圖，實質上就是求取其表面的真實形狀，這可以通過圖解或計算的方法得到。

學習須知

學習方法

1、畫法幾何是按點、線、面、體，由簡及繁、由易到難的順序編排的，前後聯繫十分緊密。學習時必須對前面的基本內容真正理解，基本作圖方法熟練掌握後，才能往下做進一步的學習。

2、由於畫法幾何研究的是圖示法和圖解法，涉及到的是空間形體與平面圖形之間的對應關係，所以，學習時必須經常注意空間幾何關係的分析以及空間幾何元素與平面圖形的聯繫。對於每一個概念、每一個原理、每一條規律、每一種方法都要弄清楚它們的意義和空間關係，以便掌握這些基本內容並善於運用它們。

3、學習時不能單純閱讀書本，必須同時用直尺和圓規在紙上進行作圖。還可以藉助鐵絲、硬紙板等物品做一些簡單的模型，幫助理解書上所講的內容和習題。書上的例題在通過自己的作圖並獲得正確的結果後，才能驗證是否真正理解並記住這些作圖方法。

4、解題時，首先要弄清哪些是已知條件，哪些是需要求作的。然後利用已學過的內容進行空間分析，研究怎樣從已知條件獲得所要求作的結果，要通過哪些步驟才能達到最後的結果。初學時可以把這些步驟記錄下來。最後利用基本作圖方法按照所確定的解題步驟一步步地進行作圖，作圖時力求準確。完成後還應做一次全面的檢查，看作圖過程有沒有錯誤，作圖是否精確等。

學習要求

由於畫法幾何所研究的是空間形體與它在平面上的圖形之間的關係，因而在培養和發展學生對三維形狀和相關位置的空間邏輯思維和形象思維能力方面起著極其重要的作用。

在這裡，圖形是直接用來研究空間形體的幾何形狀和解決空間幾何問題的工具，因此，對畫法幾何在平面上的圖形有一系列的要求。主要有：

1、圖形應當具有可逆性，也就是說，根據圖形能夠準確地恢復所畫形體的形狀和大小

2、圖形在滿足其功能的前提下具有一定的直觀性，以便根據圖形能比較容易地想像出所畫的形體的形狀和大小

3、繪製圖形應較為簡便

4、圖形以及由之進行的作圖應足夠準確

上述對圖形的要求，有時可能有矛盾，這就應根據圖形所要滿足的條件來確定採用哪種圖示方法。