介紹
誠然，正如局域化分子軌道，瓦尼爾函式也有許多選取的方式，但最原始的，最簡單的，且最常見的定義如下：
瓦爾德上函式選定晶體中的某單一能帶，將其布洛赫態標記為
瓦爾德上函式其中的周期性和晶體的相同。於是瓦尼爾函式就被定義為
瓦爾德上函式•R表示任意格矢（即對於每一布拉維格矢都有一與其對應的瓦尼爾函式）；
•N 為晶格中原胞的數量；
•對k的求和包含布里淵區（或倒易點陣中滿足周期性邊界條件的原胞）中的N個不同的k，均勻地分布在整個布里淵區內。由於 N 的值通常較大，為了簡化運算會使用如下關係來把此求和化為積分：
瓦爾德上函式其中的“BZ”表示布里淵區，其體積為Ω。
性質
在此定義的基礎上，瓦尼爾函式被證明具有以下的性質：
•對於任意格矢R'，
瓦爾德上函式換言之，瓦尼爾函式只與 (r−R) 有關。於是瓦尼爾函式常被寫作如下替代形式：
瓦爾德上函式•藉助瓦尼爾函式，布洛赫函式可被寫作如下形式：
瓦爾德上函式其中的求和符號是對晶體中每一格矢R求和。
瓦爾德上函式波函式集是一組標準正交基。
瓦爾德上函式這一性質也使瓦尼爾函式被推廣到了對近周期性勢問題的求解中。
局域化
瓦爾德上函式 瓦爾德上函式
瓦爾德上函式
瓦爾德上函式定義布洛赫態 為某特定哈密頓算符的本徵函式，包含一個“總體的”相位。若對乘上相位，對於任意（實）函式，總可以得到另一組等價滿足此特定哈密頓算符的波函式。相比原先的波函式，乘上此相位對布洛赫態的性質不產生影響，但其對應的瓦尼爾函式會因此發生改變。
瓦爾德上函式藉助上述性質，通過人為選定布洛赫態的相位，可構造出一組最能簡化計算的瓦尼爾函式。在實踐中，這樣的瓦尼爾函式常常是極大局域化的（maximally-localized），意思是瓦尼爾函式被局限於點 R周圍；當遠離位置 R時，函式值迅速趨向於零。對於一維的情況，Kohn證明了總是存在唯一的選擇可滿足上述性質（基於特定的對稱性）。對於多維（二維及以上），此方法可用於任何可對其使用分離變數法的勢；但對於一般的高維情況，還需要進一步的研究。
最近的研究提出可用Pipek-Mezey形式的局域化方案構造瓦尼爾函式。對比於極大局域化的瓦尼爾函式（即Foster-Boys方案在晶系中的套用），Pipek-Mezey函式中沒有σ軌道和π軌道的混合 。
現代的極化理論[編輯]
最近的研究將瓦尼爾函式套用到描述晶體中的極化現象中，例如鐵電性。電極化的現代理論解釋是由Raffaele Resta和David Vanderbilt提出的，參見Berghold，和Nakhmanson所發表的文章，以及Vanderbilt的介紹。固體中每一單位晶胞的極化強度可被定義為瓦尼爾電荷密度的電偶極矩：
瓦爾德上函式
瓦爾德上函式其中的求和符號是對所有占據能帶的求和，指的是對於能帶 n 局域於晶胞中的瓦尼爾函式。在連續的物理過程中，極化強度的變化即為極化的時間導數，可用布洛赫占有態的貝里相位確切地闡述。
