理想(ideal)(環論)
環R的一個非空子集 I ,如果對於R的兩個代數運算,滿足條件:對任意a,b∈ I,r∈R,有a-b∈ I,ra∈ I,則稱 I 是環R的一個左理想。類似有右理想定義。
環R的一個非空集合 I,如果對於R的兩個代數運算,滿足條件:對任意a,b∈ I,r∈R,有a-b∈ I,ar∈ I,則稱 I 是環R的一個右理想。
環R的一個非空子集 I,如果既是左理想又是右理想,稱 I為R的雙邊理想,通常簡稱 I為R的理想。
理想 (序理論)
序理論中理想的最一般的定義如下:
偏序集合(P,≤)的非空子集 I 稱為一個理想,若 I 滿足:
I是下閉的。即,∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即,∀x,y ∈ I,∃z ∈ I,使 x ≤ z,y ≤ z。
1.I是下閉的。即,∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
2.I是有向的。即,∀x,y ∈ I,∃z ∈ I,使 x ≤ z,y ≤ z。
理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下: 格(P,≤)的非空子集 I 是理想,若且唯若:
I是下閉的。
I對於有限並(上確界)運算封閉,即,∀x,y ∈ I,有x ∨ y ∈ I。
1.I是下閉的。
2.I對於有限並(上確界)運算封閉,即,∀x,y ∈ I,有x ∨ y ∈ I。
理想(代數數論)
亦稱分式理想,是理想概念的推廣。設R為一整環,K為其商域(分式域),M K是R模。若存在非0的c∈R使cM={cm|m∈M} R,則稱M為分式理想。通常的理想(又稱整理想)也是分式理想。戴德金環的分式理想全體構成一個乘法阿貝爾群,由其素理想生成。
理想(集合論)
在集合論中,理想是一種特殊的集族。它與濾子相對偶。零S是一非空集,S上的理想F是由S的子集所組成的集族。它滿足下列條件:
1、 ,且 ;
2、若X∈F,且Y∈F,則X∪Y∈F;
3、若Y∈F,且X Y,則X∈F;
S上的理想F'被稱為素理想,如果對每個XS,有X∈F'或S-X∈F'。
理想概念是斯通(Stone,M.H.)於1934年提出的。