理想[數學概念]

理想[數學概念]

在序理論中,理想是偏序集合的一個特殊子集偏序,表示為集合(P,≤)的非空子集 I 稱為一個理想。在環論中,理想(Ideal)是一個抽象代數中的概念。理想的對偶概念,就是說通過反轉所有的 ≤ 並且交換V為A獲得的概念是濾子。 在整個數學學科中,理想的概念還涉及代數數論,是理想概念的推廣,也叫分式理想。

理想(ideal)(環論)

環R的一個非空子集 I ,如果對於R的兩個代數運算,滿足條件:對任意a,b∈ I,r∈R,有a-b∈ I,ra∈ I,則稱 I 是環R的一個左理想。類似有右理想定義。

環R的一個非空集合 I,如果對於R的兩個代數運算,滿足條件:對任意a,b∈ I,r∈R,有a-b∈ I,ar∈ I,則稱 I 是環R的一個右理想。

環R的一個非空子集 I,如果既是左理想又是右理想,稱 I為R的雙邊理想,通常簡稱 I為R的理想。

理想 (序理論)

序理論中理想的最一般的定義如下:

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 稱為一個理想,若 I 滿足:

I是下閉的。即,∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。

I是有向的。即,∀x,y ∈ I,∃z ∈ I,使 x ≤ z,y ≤ z。

1.

I是下閉的。即,∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。

2.

I是有向的。即,∀x,y ∈ I,∃z ∈ I,使 x ≤ z,y ≤ z。

理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下: 格(P,≤)的非空子集 I 是理想,若且唯若:

I是下閉的。

I對於有限並(上確界)運算封閉,即,∀x,y ∈ I,有x ∨ y ∈ I。

1.

I是下閉的。

2.

I對於有限並(上確界)運算封閉,即,∀x,y ∈ I,有x ∨ y ∈ I。

理想(代數數論)

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亦稱分式理想,是理想概念的推廣。設R為一整環,K為其商域(分式域),M K是R模。若存在非0的c∈R使cM={cm|m∈M} R,則稱M為分式理想。通常的理想(又稱整理想)也是分式理想。戴德金環的分式理想全體構成一個乘法阿貝爾群,由其素理想生成。

理想(集合論)

在集合論中,理想是一種特殊的集族。它與濾子相對偶。零S是一非空集,S上的理想F是由S的子集所組成的集族。它滿足下列條件:

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1、 ,且 ;

2、若X∈F,且Y∈F,則X∪Y∈F;

理想[數學概念] 理想[數學概念]

3、若Y∈F,且X Y,則X∈F;

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S上的理想F'被稱為素理想,如果對每個XS,有X∈F'或S-X∈F'。

理想概念是斯通(Stone,M.H.)於1934年提出的。

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