內容介紹
《現代數學基礎:現代芬斯勒幾何初步》內容介紹：近些年來，芬斯勒幾何的研究取得了全新的實質性進展。如果說黎曼幾何是一幅深刻描述空間形態的黑白圖畫，那么芬斯勒幾何就是這種描述的絢麗多姿的彩色畫卷。芬斯勒幾何的觀點和方法，不僅與數學的其他分支，如微分方程、李群、代數學、拓撲學、非線性分析等密切相關，而且在數學物理、理論物理、生物數學、控制論、資訊理論等其他學科中得到越來越廣泛的套用。《現代數學基礎:現代芬斯勒幾何初步》由作者在多年教學實踐的基礎上編寫而成。作者以張量分析為主要工具，系統介紹了芬斯勒幾何的基本概念和方法，併兼顧經典理論和最新進展的內容，使讀者在閱讀《現代數學基礎:現代芬斯勒幾何初步》後能獨立從事芬斯勒幾何的研究。全書分兩大篇：基礎篇和研究篇，共十一章。內容包括：微分流形、芬斯勒度量、陳聯絡和結構方程、S曲率、芬斯勒度量的黎曼曲率、芬斯勒度量的射影變換、芬斯勒流形的體積比較定理和基本群、芬斯勒子流形和調和映射等。書中還附有Maple計算程式。
作品目錄
基礎篇第一章微分流形
1.1微分流形
1.1.1微分流形
1.1.2微分流形的例子
1.2向量場與張量場
1.2.1向量叢
1.2.2張量場
1.3外形式與外微分
1.3.1外微分運算元
1.3.2 de Rham定理
1.4向量叢和聯絡
1.4.1向量叢的聯絡
1.4.2聯絡的曲率
習題
第二章芬斯勒度量
2.1芬斯勒度量
2.1.1芬斯勒度量
2.1.2芬斯勒度量的例子
2.2嘉當撓率
2.2.1嘉當撓率
2.2.2 Deicke定理
2.3希爾伯特形式和噴射
2.3.1希爾伯特形式
2.3.2噴射
2.4測地線
2.4.1測地線
2.4.2測地係數
2.4.3測地完備性
習題
第三章聯絡與曲率
3.1聯絡
3.1.1陳聯絡
3.1.2 Berwald度量和Landsberg度量
3.2曲率
3.2.1陳聯絡的曲率形式
3.2.2旗曲率和Ricci曲率
3.3 Bianchi恆等式
3.3.1共變微分
3.3.2 Bianchi恆等式
3.3.3其他公式
3.4 Legendre變換
3.4.1對偶空間的對偶模
3.4.2 Legendre變換
習題
第四章S曲率
4.1體積測度
4.1.1 Busemann—Hausdorff體積元
4.1.2射影球叢SM誘導的體積元
4.2 S曲率
4.2.1畸變
4.2.2 s曲率和E曲率
4.3迷向S曲率
4.3.1迷向S曲率和迷向E曲率
4.3.2迷向S曲率的Randers度量
4.3.3測地流
習題
第五章黎曼曲率
5.1弧長的第二變分
5.1.1第二變分
5.1.2曲率與拓撲初步
5.2數量旗曲率
5.2.1 Schur定理
5.2.2常數旗曲率
5.3整體剛性結果
5.3.1特殊旗曲率條件
5.3.2非正旗曲率流形
5.4導航術
5.4.1導航問題
5.4.2 Randers度量與導航術
5.4.3 Ricci曲率和愛因斯坦度量
習題
研究篇
第六章射影變換
6.1射影等價
6.1.1射影等價
6.1.2射影不變數
6.2射影平坦度量
6.2.1射影平坦度量
6.2.2常旗曲率的射影平坦度量
6.3具有殆迷向S曲率的射影平坦度量
6.3.1具有殆迷向S曲率的Randers度量
6.3.2具有殆迷向S曲率的射影平坦度量
6.4射影等價的特殊芬斯勒度量
6.4.1射影等價的Randers度量
6.4.2（α，β）度量的射影等價
6.4.3二次（α，β）度量的射影等價
習題
第七章 比較定理
7.1芬斯勒流形的體積比較定理
7.1.1指數映射的Jacobi
7.1.2距離函式和比較定理
7.1.3體積比較定理
7.2 Berger—Kazdan比較定理
7.2.1 Kazdan不等式
7.2.2可反芬斯勒流形的剛性
7.2.3 Berger—Kazdan比較定理
習題
第八章 芬斯勒流形的基本群
8.1芬斯勒流形的基本群
8.1.1基本群與覆蓋空間
8.1.2代數模和幾何模
8.1.3基本群的增長
8.2基本群的熵和有限性
8.2.1基本群的熵
8.2.2第一Betti數
8.2.3基本群的有限性
……
附錄 Maple計算程式
參考文獻
索引
