問題概述
牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓問題，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。
基本解法
解決牛吃草 問題常用到4個基本的公式，分別是︰
（1）求草的生長速度=（對應的牛頭數×吃的較多天數－對應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；
（2）求原有草量=牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；
（3）假設有一些牛專吃剛生長的草，剩下的牛吃原有的草。
(4)原有草量÷剩下的牛數量=天數
這4個公式是解決牛吃草問題的基礎。
由於牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變數。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由於這個不變數，才能夠導出上面的四個基本公式。
牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
例如;一片草地,每周都勻速生長.這片草地可以供12頭牛吃9周,或者共15頭牛吃6周.那么,這片草地可供9頭牛吃幾周?
12頭×9周 =原有草+9周新生草 15頭×6周 =原有草+6周新生草
草原有草:15×6-6×6=54
六頭牛吃新生草,其餘3頭牛吃原有草,9-6=3(頭)54÷3=18(周)
解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地里原有草的數量，進而解答題總所求的問題。
這類問題的基本數量關係是：
1.吃的天數=原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）
2.牛的頭數×吃草天數-每天新長量×吃草天數=草地原有的草。
例子
例1 ：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？
分析與解：這類題難就難在牧場上草的數量每天都在發生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量。總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變數。
設1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，後者的總草量是150份，前者是原有的草加 20天新長出的草，後者是原有的草加10天新長出的草。
200－150=50（份），20—10=10（天），
說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草
（10—5）× 20=100（份）或（15—5）×10=100（份）。
已經知道原有草100份，每天新長出草5份。當有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20=5（天）。
所以，這片草地可供25頭牛吃5天。
在例1的解法中要注意三點：
（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數的差計算出來的。
（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據吃的天數可以計算出原有的草量。
（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其餘的牛吃原有的草，根據原有的草量可以計算出能吃幾天。
例2：一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水後，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘後水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘後水池空。那么出水管比進水管晚開多少分鐘？
分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當於“草”，進水管進的水相當於新長出的草，出水管排的水相當於牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。
出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時間內進水管放進的水。因為原有的水量是不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。
設出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2×8=16（份），3個出水管5分鐘所排的水是3×5=15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內的進水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內所放進的水量，所以每分鐘的進水量是：（16-15）÷3=1/3（份）
假設讓1/3個出水管專門排進水管新近的水，兩相抵消，其餘的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量為：
（2-1/3）×8=40/3（份）或（3-1/3）×5=40/3（份）。
解：設出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進水量：
（2×8-3×5）÷（8-5）=1/3（份），進水管提前開了（2-1/3）×8÷1/3=40（份）。
答：出水管比進水管晚開40分鐘。
例3：由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？
分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。
設1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當於10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20+10）×5=150（份）。
由 150÷10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃 10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。
例4：自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？
分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數”，“草”變成了“梯級”，“牛”變成了“速度”，也可以看成牛吃草問題。
上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5= 100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了100－90=10（級），多用了6－5=1（分），說明電梯1分鐘走10級。由男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（級）。
解：自動扶梯每分鐘走
（20×5－15×6）÷（6—5）=10（級），
自動扶梯共有（20+10）×5=150（級）。
答：扶梯共有150級。
例5：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？
分析與解：等候檢票的旅客人數在變化，“旅客”相當於“草”，“檢票口”相當於“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。
旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票後新來的旅客。
設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。因為4個檢票口30分鐘通過（4×30）份，5個檢票口20分鐘通過（5×20）份，說明在（30-20）分鐘內新來旅客（4×30-5×20）份，所以每分鐘新來旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假設讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其餘的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同時打開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其餘的檢票口通過原來的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。
例6：有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？
分析與解：例1是在同一塊草地上，例6是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統一起來。
[5，6，8]=120。
因為 5公頃草地可供11頭牛吃10天， 120÷5=24，所以120公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天。
因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6=20，所以120公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。
120÷8=15，問題變為： 120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？
因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，所以原題可變為：
“一塊勻速生長的草地，可供264頭牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”
這與例1完全一樣。設1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有（240×14－264×10）÷（14－10）=180（份）。草地原有草（264—180）×10=840（份）。可供285頭牛吃840÷（285—180）=8（天）。
所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。
練習
一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供30頭牛吃5周，問可供42頭牛吃幾周？
一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天。現有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，餘下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？
經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發展的潛力，地球最多能養活多少億人？
有一水池，池底有泉水不斷湧出。用10部抽水機20時可以把水抽乾；用15部同樣的抽水機，10時可以把水抽乾。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽乾？
某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？
兩隻蝸牛由於耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩隻蝸牛白天爬行的速度是不同的，一隻每個白天爬20分米，另一隻爬15分米。黑夜裡往下滑，兩隻蝸牛滑行的速度卻是相同的。結果一隻蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一隻蝸牛恰好用6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？
兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級，女孩可走24級梯級，結果男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端。問：該扶梯共多少級？
1.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供30頭牛吃5周，問可供42頭牛吃幾周？
2.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天。現有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，餘下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？
3.經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發展的潛力，地球最多能養活多少億人？
4.有一水池，池底有泉水不斷湧出。用10部抽水機20時可以把水抽乾；用15部同樣的抽水機，10時可以把水抽乾。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽乾？
5.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？
6.兩隻蝸牛由於耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩隻蝸牛白天爬行的速度是不同的，一隻每個白天爬20分米，另一隻爬15分米。黑夜裡往下滑，兩隻蝸牛滑行的速度卻是相同的。結果一隻蝸牛恰好用5個晝夜到達井底，另一隻蝸牛恰好用6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？
7.兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級，女孩可走24級梯級，結果男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端。問：該扶梯共多少級？
方程解法
知道方程的人，這題目很容易就解決了。
以練習第1題為例，我們有以下解法：
假設原來有的草為x份，每周長出來的草為y份，每頭牛每周吃草1份。
那么可以列方程：
x+6y=27×6
x+5y=30×5
解得x=90,y=12
若放42頭牛，設n周可以吃完，則：
90+12n=42n
n=3周
