基本介紹
未定向配邊類是流形的一種等價類，兩個光滑閉n維流形M與M屬於同一個無定向的配邊類的充分必要條件是它們的不相交的並M∪M是光滑緊n+1維流形的邊緣。
無定向配邊理論
無定向配邊類托姆在所有不考慮定向的流形中，引入一個等價關係，其相互配邊的流形(同一維)構成一個等價類。n維閉流形等價類全體在加法之下構成阿貝爾群 ，其中加法為
無定向配邊類么元(零元)就是本身是邊緣的流形，而且兩流形的拓撲積可定義乘法
無定向配邊類於是直和
無定向配邊類成為分次交換環(代數)，稱為 配邊環或 托姆代數。
相關概念
定向配邊類
定向配邊類(oriented cobordism class)是流形的一種等價類，對於兩個光滑緊定向n維流形M與M′，若存在一個光滑緊的帶邊的定向流形X，使得∂X及其誘導定向在保持定向的同胚之下同胚於M與(-M′)的無交並，則稱M與M′屬於同一個定向配邊類。
定向配邊類的這種關係是自反的、對稱的和傳遞的，因此是一個等價關係，在這種等價關係之下的等價類之集記為Ω，對Ω中的任意兩個元素{M}，{M′}，用無交並作為群運算，則Ω構成一個阿貝爾群，這個群的零元就是空流形的配邊類。例如，可以列出定向配邊類群如下：Ω≅Z，Ω=0，Ω=0，Ω=0，Ω≅Z，Ω=Z/2，Ω=0，Ω=0，Ω≅Z⊕Z，Ω=(Z/2)⊕(Z/2)，Ω≅Z/2，Ω≅Z/2。
配邊理論
兩個緊緻的無邊的n維C流形M和M，稱為是 模2配邊的，如果存在緊緻帶邊的n+1維C流形W，使∂WC微分同胚於M×{0} ∪M×{1}，記作M0～M。模2配邊是n維緊緻無邊流形之間的一個等價關係。n維C流形M所在的等價類記作[M]，等價類的全體作成的集合記作ℛ，稱為n維 不定向的配邊群。
類似地，M和M是定向的n維無邊C流形，它們的定向分別為ω和ω，稱(M，ω)和(M，ω)是配邊的，如果存在n+1維帶邊C流形(W，θ)及保持定向的C微分同胚f：(∂W，∂θ)→(M×{0}，-ω)∪ (M×{1}，ω)。n維定向無邊定向C流形的等價類的全體做成的集合記作Ω。
把W嵌入到某歐氏空間Rq，可定義[M0]+ [M]等於[M0+M]，不難證明ℛ對加法做成一個交換群稱為 n維配邊群。對加法和乘法做成一個有單位元的交換環，稱為 n維配邊環。且更有甚者，做成一個模2的交換代數，稱為 托姆(Thom)代數。
類似地在Ω中定義加法和乘法，則Ω對加法做成交換群，稱為 n維定向配邊群，對加法和乘法做成有單位元的環，稱為 n維定向配邊環。
拓撲流形的定向
無定向配邊類拓撲流形的定向(orientation of topological manifold)是確定流形指向的方式問題，有多種等價的方式來定義流形的定向，這裡介紹比較基本的兩種。設M為n維拓撲流形，由定義可知存在M的一個開覆蓋{U|λ∈Λ}，使得對於每個U有同胚φ：U≌R(或 )，於是當U∩U≠∅時，
無定向配邊類 無定向配邊類
無定向配邊類是R(或 )的開子集之間的同胚，若在M上可選取U與φ，λ∈Λ，使得當U∩U≠∅時， 總是保向同胚，則稱M為 可定向流形；否則，稱為 不可定向流形。
無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類設 為單位區間， 為流形M的一條道路，選取 的一個分割
無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類 無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類
無定向配邊類使得 某 ，現在通過 選取 的序向，使得在 和 上，它們有一致的序向，則當a為環道時，有a(0)的鄰域 到a(1)的鄰域 的一個同胚h，若h為保向同胚，則稱a為保向的；否則稱a為逆向的，於是M可定向的等價說法是：M上的任意環道都是保向環道，由於具有相同基點的同倫環道有相同的保向性，所以單連通流形必定可定向，因此n維球面Sn當n≥2時可定向(當然圓周S1也可定向)，另一方面，如圖所示，默比烏斯帶的腰圓是一條逆向曲線，從而默比烏斯帶不可定向，因此一切包含默比烏斯帶的曲面均不可定向，所以2維實射影平面、克萊因瓶等均為不可定向的閉曲面(2維流形)。
圖1