基本介紹
配邊理論從直觀上十分清楚。兩個k維閉微分流形V，W稱為 配邊，如果V，W一起構成(n+1)維有邊緣流形的邊緣。
這個非常明顯的概念首先是托姆在1954年的論文中提出來的。這篇劃時代的論文題目是“微分流形的某些整體性質”，實際上完成了流形在配邊這個等價關係下的分類，在先不考慮定向的情況下，每一維的所有流形都可以根據它們是否配邊來歸類，相互配邊的流形算作同一類。托姆創立了配邊理論，他指出任何兩個流形屬於同一類的充分必要條件，從而完成了流形的粗分類的工作，然後他又對每一類找出一個代表，有了這些代表，任何一個流形就屬於某一個代表的類了。
在托姆之前，數學家也曾考慮類似的問題。蘇聯數學家龐特里亞金和羅赫林，都曾經研究過更基本的問題：什麼時候一個k維流形是一個(k+1)維流形的邊緣?由於同調論的關鍵部分是邊緣運算元，因此他們把這種問題稱為 內在同調。這樣的問題顯然只是配邊理論的一個特殊情形，而且產生不出配邊等價類的結構，也出現不了微分流形的粗分類。從這種情形下看也可以看出托姆思想的偉大創造性。托姆的配邊理論還有另外一個來源，就是一個微分流形的同調類能否被其子流形來表示。這是著名的 斯廷洛德問題。托姆在他的研究中也給這個問題一個明確的回答：
可實現性定理 流形 的同調類 能用子流形來實現的充分必要條件是存在一個映射
使得 成為Z的對偶。
這裡的 是以正交群 為結構群的萬有k維向量叢 的托姆複合形，而流形X上一個向量空間叢 的托姆複合形，就是把與 相伴的k維閉圓盤叢 中把其邊緣所構成的(k-1)維球面叢 縮為一點後所成的空間，這個空間稱為 托姆空間，由於它有CW複合形的同倫型，因此稱為 的托姆複合形。而
的生成元U稱為 的 基本(上同調)類。
無定向配邊理論
托姆在所有不考慮定向的流形中，引入一個等價關係，其相互配邊的流形(同一維)構成一個等價類。n維閉流形等價類全體在加法之下構成阿貝爾群 ，其中加法為
么元(零元)就是本身是邊緣的流形，而且兩流形的拓撲積可定義乘法
於是直和
成為分次交換環(代數)，稱為 配邊環或 托姆代數。
托姆的工作完整地定出配邊環的結構，他證明了下列結果：
(1)托姆基本定理
其中 表示托姆空間的穩定同倫群，即當n>i 時，
這樣，當 一定時，與n無關，我們把它稱為托姆譜 的 維 穩定同倫群。這樣求n的問題化為計算 托姆譜的同倫群的問題。
(2)n的結構定理
即n為 上的多項式代數，除 外，每k維均有一生
成元 ，且每 為實射影空間 的配邊類。
(3)配邊的充分必要條件 兩流形配邊若且唯若其每個施蒂費爾-惠特尼示性數對應相等。
定向配邊理論
定向配邊理論的研究對象是所有 定向流形的集合，其中所有流形都有兩種定向。如果一種用 表示，另一種則用 表示，它們在這個集合中代表不同的元素。
兩個 維閉流形 稱為 定向配邊，如果存在一個 維可定向有邊緣流形X，使得
這樣，所有定向流形在這種等價關係之下形成等價類。定向配邊等價類的集契約樣可引入加法構成阿貝爾群 ，引進乘法構成分次反交換代數 ，稱為 定向配邊環。
經過托姆、米爾諾(Milnor，John Willard，1931-) 和沃爾的研究， 的結構也完全決定。
托姆基本定理
其中 為旋轉群的托姆譜。
結構定理
是Q上多項式環，
即每 維 各有一個生成元，這生成元為復射影空間的定向配邊類 。
1960年，米爾諾證明 沒有p分量，p為任意奇素數。同年，沃爾證明 的2分量中不含4階元素。
設 為 中所有撓元構成的理想，則 為 上多面式環，以 為生成元，其中 可取為復 維非奇異代數簇。
定向配邊不變數
兩個定向閉流形定向配邊若且唯若其所有的施蒂費爾-惠特尼示性數和龐特里亞金示性數對應相等。
的具體結構如下：
時，所有 均不等於0。
