灰色 Verhulst 模型

灰色 Verhulst 模型

灰色Verhulst模型是灰色系統理論的一個組成部分，Verhulst模型為單序列一階非線性動態模型，是1837年德國生物學家Verhulst在研究生物繁殖規律時提出的。

定義及套用

灰色Verhulst模型的基本思想是生物個體數量是呈指數增長的，受周圍環境的限制，增長速度逐漸放慢，最終穩定在一個固定值。該模型主要用來描述具有飽和狀態的過程，即“S”型過程（如圖所示），常用於人口預測、生物生長、繁殖預測及產品經濟壽命預測等。

公式

灰色 Verhulst 模型 灰色 Verhulst 模型

以時間序列數據建立原始數據序列,

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對數據進行累加處理並確定緊鄰均值生成序列，令,

則累加生成序列是

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是的緊鄰均值生成序列：

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，其中 k=2，3...n 。

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建立Verhulst模型函式：， a,b 是待定參數。

該函式的微分方程式是

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該微分方程的解是

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Verhulst模型的時間回響序列是

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最後得到Verhulst預測模型：

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待定參數 ab 用最小二乘估計：

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