方法介紹
混合有限元法(mixed finite element method)是一種有限元法,是基於 混合變分原理的有限元方法。混合有限元法的特點是同時選擇兩個基本未知函式,即位移函式和力函式。套用混合能量原理推導出混合有限元法基本方程。
在混合變分原理中,未知函式除函式值本身外還有函式的導數,於是,混合有限元方法不僅要計算函式本身的近似值,同時也計算導數的近似值,因此適於需要計算函式本身及導數的科學與工程計算問題,高階方程可由降階以後再化為混合變分問題求解,故該方法適於高階方程求解,考慮混合變分問題:
![混合有限元法](/img/e/f13/wZwpmLyETN1UzMzgzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL3IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
求 ,使
![混合有限元法](/img/0/9ce/wZwpmLzADN5gDMwkTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/2/b82/wZwpmL3AzNwIDM5gzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/f/747/wZwpmLxMDO3ITO0QzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/d/ca5/wZwpmLyMjN0EzNwIjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/1/262/wZwpmLzcDN1QDMzgjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzL2gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/3/531/wZwpmL2ETM0IDNwkTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/e/2e3/wZwpmL4IDO1gDMzADO0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwgzLxAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
其中W,M是兩個希爾伯特空間, 是定義在W×W上的連續雙線性泛函,且是強制的, 是定義在W×M上的連續雙線性泛函, (W的對偶空間), (M的對偶空間),設 分別為 的某一有限元子空間,則下述離散問題稱為(1)的 混合有限元逼近:
![混合有限元法](/img/2/d8b/wZwpmL2EDO5UDM0cjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
求 ,使
![混合有限元法](/img/b/1f2/wZwpmL3cTN1UDN3QzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czL1QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/2/b82/wZwpmL3AzNwIDM5gzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/f/747/wZwpmLxMDO3ITO0QzN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
若雙線性泛函 是連續且強制的;雙線性泛函 是連續的,且
![混合有限元法](/img/c/fca/wZwpmLwQTM5ITMyQTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0UzL2AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
其中β是正的常數,則問題(2)存在惟一解(φ,λ),且
![混合有限元法](/img/9/2b8/wZwpmLxYjN3IjN2IjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL3MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/b/749/wZwpmLzgTM1ETOwMjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzYzL0gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
條件(3)稱為LBB條件,它取自拉德仁斯卡婭(Лaдыжкенская,О.А.)(1949),巴布希卡 及布雷齊(Brezzi,F.)(1974)姓名的第一個字母 。
混合分區變分原理
混合模型或雜交模型只是在單元水平上採用混合法,而混合分區變分原理則是在結構整體水平上採用混合法。混合分區變分原理在理論上解決了兩類不同區域(余能區、勢能區)和兩類不同單元(應力元、位移元)並存及其耦合和收斂問題,在實際套用上(如求解含有應力集中的問題)是非常成功的。成功的原因是巧妙地把應力元與位移元、奇異元與常規元、解析解與數值解相結合,使每一種方法在各自的分區範圍內發揮其長處,從而獲得整體上的最佳效果。
混合分區變分原理構成了混合有限元法的基礎,其特點是將彈性體劃分為勢能區單元和余能區單元的混合分區體系,以勢能區的節點位移和余能區的應力參數作為基本未知量,套用混合分區變分原理導出分區混合有限元法的基本方程,並用於求解上述混合型基本變數。
套用混合分區變分原理:
![混合有限元法](/img/e/0aa/wZwpmL1gDOzATO1YjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2YzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
=駐值 (4)
![混合有限元法](/img/c/86b/wZwpmL0QDMycDN5QDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/5/e45/wZwpmLxUDM0UDNyAjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwYzLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/f/d14/wZwpmL4ADM0cTN1ITN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyUzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/7/499/wZwpmL0ITO0ETOxQDO0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/7/3aa/wZwpmL1ETMzQDM0MjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzYzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
式中 是勢能區的位移參數, 是余能區的應力參數, 是勢能區的總勢能, 是余能區的總余能, 是余能區和勢能區交界面的附加能量。
由駐值條件
![混合有限元法](/img/e/a19/wZwpmL1gTMxMzM1cjN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzLwEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/c/86b/wZwpmL0QDMycDN5QDOwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL1gzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![混合有限元法](/img/5/e45/wZwpmLxUDM0UDNyAjNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwYzLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
導出混合有限元法的基本方程,解出位移參數 和應力參數 。