概念
混合張量(mixed tensor)是一類張量。向量空間及其對偶空間張量積的元素。張量空間：
混合張量(記為V)中的元素稱為p重反變q重共變張量；或稱為(p，q)重混合張量，其中V是C上向量空間，V*=L(V，C)是V的對偶空間。混合張量也指：
混合張量中的多重線性函式。可以定義張映射使：
混合張量V中的元素稱為反變張量。V中的元素稱為共變張量。這些都是微分幾何、黎曼幾何及物理上用得較多的概念。
張量
張量是向量概念的綜合，可用以代表各向量間的關係。例如彈性張量把彈性體上每一點的變形與外加應力聯繫起來。張量計算最初的發展是與微分幾何相聯繫的，也是愛因斯坦在系統地闡述廣義相對論時所用的基本工具。
混合張量n維空間中的一個量，它具有nr個分量，用表示，它的每個分量都是坐標的函式；在坐標變換下，這些分量按照一定的規律作線性變換。r稱為張量的階。
張量是矢量及矩陣概念的推廣。標量是零階張量;向量是一階張量；矩陣是二階張量。三階張量(它的分量用Tijr表示)就像是一個“立體矩陣”。
在1900年，張量首先在彈性理論中使用。“張量”原來的含義是“張緊”與“張開”。
1892年起，里奇(C.G.Ricci，意，1853—1925)與列維·奇維塔(T.Levi-Civita，意，1873—1941)開始建立張量分析的理論，成為黎曼幾何與廣義相對論的一種工具。
為了簡便，在張量列式或計算時，常按求和約定將求和號略去。
向量空間
設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間：
混合張量——記為加法的合成法則，
混合張量——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，
這兩個法則滿足下列條件：
a)賦以加法的集合E是交換群；
b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，
混合張量c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素；
d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，
混合張量
混合張量當體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間。
如果條件：α(βx)=(αβ)x換為：α(βx)=(βα)x，則稱E為K上的右向量空間。在這種情況下，E上的作用法則記為：
混合張量例如，設K為交換體，而E為只有一個記為0的元素的集合。E賦以兩個法則：
混合張量則E為K上的向量空間。
套用領域
微分幾何
幾何學的一門分支。主要以數學分析、微分方程為工具，研究光滑曲線，曲面在它一點鄰域的性質。例如研究一般曲線和一般曲面在一點的曲率就是微分幾何中的重要內容。近代由於對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何與黎曼幾何學、拓撲學、變分學、李群等有了密切的聯繫。上述各學科與微分幾何的互相滲透已成為現代數學的中心問題之一。微分幾何在力學和 一些工程問題(如彈性薄殼結構、齒論嚙合理論等方面)中有廣泛的套用。
黎曼幾何
黎曼幾何是非歐幾何的一種，亦稱“橢圓幾何”。德國數學家黎曼，對空間與幾何的概念作了深入的研究，於1854年發表《論作為幾何學基礎的假設》一文，創立了黎曼幾何。它與歐氏幾何的主要區別，一是改變了歐氏幾何的平行公理，規定通過某一點，不能引出一條直線與已知直線平行;二是證明三角形三內角和大於180°。黎曼假定所有的直線都是無界的，但其長度有限，也就是說，可以把直線看成是首尾相連，就象一個圓的圓周或球面上的大圓圓弧的情形那樣，一個點沿一直線移動，最後將回到它的出發點上來。在黎曼所想像的空間裡，過一點作一直線與另一直線平行是不可能的，平面上任何兩條直線，只要延長到足夠遠就可以相交。黎曼幾何在愛因斯坦創立廣義相對論時，成為有力的數學工具。例如引力場附近的彎曲時空，就以黎曼幾何為其數學基礎。
非歐幾何(羅氏幾何、黎曼幾何)的產生，突破了歐氏空間的唯一性。歐氏、羅氏和黎氏幾何反映和揭示了空間形式的多樣性，歐氏幾何反映了曲率為零的平直空間，羅氏幾何反映了曲率為負的彎曲空間，黎氏幾何則反映了曲率為正數的彎曲空間，這些新發現使人們對空間性質的認識有了新的進展，可以說是人類對空間的認識史上的一次飛躍，而且擴展了幾何學的套用範圍。德國數學家希爾伯特曾說：“十九世紀最有啟發性、最重要的數學成就是非歐幾何的發現。”
