a^2+b^2=d^2
b^2+c^2=e^2
c^2+a^2=f^2
式中a、b、c是棱長,d、e、f是面對角線長。相應的解完整地記作(a, b, c; d, e, f)。由於可從(a, b, c)決定(d, e, f),有的文獻中就省略後者,記作(a, b, c)。
最小的歐拉長方體(44,117, 240; 267, 244, 125)是1719年由Hackle發現的。
如果歐拉長方體的空間對角線長也是整數,就成為完美整數長方體(Perfect Rational Cuboid),簡稱完美長方體(Perfect Cuboid),截止2007年10月,還沒有找到任何完美長方體,亦未有人證明完美長方體不存在。若存在完美長方體,最小的完美長方體的奇數棱長不少於2.1 ×10^10。
歐拉長方體正是在得不到完美長方體的情況,退而求其次定義的一種擬完美長方體。
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