歌德斯堡七橋問題

能實現，這樣的點又叫做“奇點”。 接起來，這樣一筆畫成的圖形是封閉的。 過七座橋，但每座橋只走一次的路線是不可能的。

18世紀，東普魯士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普萊格爾河橫貫城區，使這
座城市錦上添花，顯得更加風光旖旋。這條河有兩條支流，在城中心匯成大河，在河的
中央有一座美麗的小島。河上有七座各具特色的橋把島和河岸連線起來。
每到傍晚，許多人都來此散步。人們漫步於這七座橋之間，久而久之，就形成了這樣一
個問題：能不能既不重複又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？這就是聞名遐邇的“哥尼
斯堡七橋問題。”每一個到此遊玩或散心的人都想試一試，可是，對於這一看似簡單的
問題，沒有一個人能符合要求地從七座橋上走一遍。這個問題後來竟變得神乎其神，說
是有一支隊伍，奉命要炸毀這七座橋，並且命令要他們按照七橋問題的要求去炸。
七橋問題也困擾著哥尼斯堡大學的學生們，在屢遭失敗之後，他們給當時著名數學家歐
拉寫了一封信，請他幫助解決這個問題。
歐拉看完信後，對這個問題也產生了濃厚的興趣。他想，既然島和半島是橋樑的連線地
點，兩岸陸地也是橋樑的連線地點，那就不妨把這四處地方縮小成四個點，並且把這七
座橋表示成七條線。這樣，原來的七橋問題就抽象概括成了如下的關係圖：
這顯然並沒有改變問題的本質特徵。於是，七橋問題也就變成了一個一筆畫的問題，即
：能否筆不離紙，不重複地一筆畫完整個圖形。這竟然與孩子們的一筆畫遊戲聯繫起來
了。接著，歐拉就對“一筆畫”問題進行了數學分析一筆畫有起點和終點，起點和終點
重合的圖形稱為封閉圖形，否則便稱為開放圖形。除起點和終點外，一筆畫中間可能出
現一些曲線的交點。歐拉注意到，只有當筆沿著一條弧線到達交點後，又能沿著另一條
弧線離開，也就是交匯於這些點的弧線成雙成對時，一筆畫才能完成，這樣的交點就稱
為“偶點”。如果交匯於這些點的弧線不是成雙成對，也就是有奇數條，則一筆畫就不
能實現，這樣的點又叫做“奇點”。見下圖：
歐拉通過分析，得到了下面的結論：若是一個一筆畫圖形，要么只有兩個奇點，也就是
僅有起點和終點，這樣一筆畫成的圖形是開放的；要么沒有奇點，也就是終點和起點連
接起來，這樣一筆畫成的圖形是封閉的。由於七橋問題有四個奇點，所以要找到一條經
過七座橋，但每座橋只走一次的路線是不可能的。
有名的“哥尼斯堡七橋問題”就這樣被歐拉解決了。
在這裡，我們可以看到歐拉解決這個問題的關鍵就是把“七橋問題”變成了一個“一筆
畫”問題，那么，歐拉又是怎樣完成這一轉變的呢？
他把島、半島和陸地的具體屬性捨去，而僅僅留下與問題有關的東西，這就是四個幾何
上的“點”；他再把橋的具體屬性排除，僅留下一條幾何上的“線”，然後，把“點”
與“線”結合起來，這樣就實現了從客觀事物到圖形的轉變。我們把得到“點”和“線
”的思維方法叫做抽象，把由“點”和“線”結合成圖形的思維方法叫做概括。所謂抽
象就是從客觀事物中排除非本質屬性，透過現象抽出本質屬性的思維方法。概括就是將
個別事物的本質屬性結合起來的思維方法。
Euler在1736年訪問Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)時，他發現當地的市民正從事一項非常有趣的消遣活動。Konigsberg城中有一條名叫Pregel的河流橫經其中，在河上建有七座橋如圖所示: 這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。
Euler把每一塊陸地考慮成一個點，連線兩塊陸地的橋以線表示，便得如下的圖後來推論出此種走法是不可能的。他的論點是這樣的，除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地（或點）時，他（或她）同時也由另一座橋離開此點。所以每行經一點時，計算兩座橋（或線），從起點離開的線與最後回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連線的橋數必為偶數。
七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述的任務是不可能實現的。