設有奇素數P=k*d+1，則模P的非負完全剩餘最小系可表示成I(P)={0,1，2，3，……,P-1}有P個元素, I(P)在加法運算”+”下封閉;在剔除0元素後記為U(P-1)= I(P)-{0}={1,2,3,……,P-1}有P-1個元素,則U(P-1)在乘法運算*下封閉,成群,是(有限循環)群.
考察P-1的素因子分解,若d是P-1的因數,即d|(P-1)時,對於這樣的d,一定存在U(P-1)的(乘法)子集U(d)={ j |j^d=1mod P }.不妨稱其為模P的d次單位根.不難驗證,這樣的子集U(d)恰有d個元素.
當d|(P-1)且d,即U(d)是的真子集時(後文將保持關於U(d)的這個設定),U(d)對於I(P)的加法+和乘法*這兩種運算的繼承,有非常不同的表現.
熟知, U(d)對於乘法運算*是非常自然地照搬,即當a,b是U(d)的元素時,有 a*b也是U(d)的元素.
但U(d)中的加法運算+不再封閉, 即當a,b是U(d)的元素時,幾乎不再有 a+b=c是U(d)元素,即(a+b)幾乎不再是U(d)的元素.雖然,加法運算不再具備普遍的存在性,但是,對於特定的模P下的某些d次單位根組成的U(d),卻又能夠找出一些加法算式,當a,b,cU(d)時,有加法算式a+b=c的成立.
所設定的奇素數P=k*d+1,模P的d次單位根U(d),實則就是模P的k次剩餘,數論文獻對於此的論述,都注重於乘法運算下的性質,對於加法運算,由於其不封閉,所以基本上沒有關注.從模P= k*d+1的k次剩餘的角度上看,則k次剩餘系中元素的個數,是隨著P值的變化而變化的,因而無法統一地把握.而從模P= k*d+1下的d單位根的角度上來看,只要d值固定,則U(d)中的元素個數,必定是d.儘管這時的k值可以任意變化,但只要k和d生成的整數P=k*d+1是奇素數即可.
