梁[力學]

承受垂直於軸線的橫向載荷的桿件。它是工程結構中重要的承力構件，如房梁、輪船的龍骨、飛機機翼的大梁和起重機的大梁。

1.介紹

梁的種類繁多，按照軸線形狀，可分為直梁和曲梁；按照支持的形式，可分為懸臂樑、簡支梁、連續梁、彈性基礎梁等（圖1）。梁的支反力可由靜力平衡條件確定的，稱為靜定梁（見靜定結構），如懸臂樑和簡支梁；不能由靜力平衡條件確定的，稱為靜不定梁（見靜不定結構），如連續梁和彈性基礎梁。

梁[力學]

在橫向載荷作用下，梁軸線的曲率會發生變化，直梁的軸線由直變曲，曲梁軸線的曲率增大或減小。這類變形稱為彎曲變形，變形後的軸線稱為撓曲線。

早在17世紀，伽利略就研究過梁的彎曲問題。在隨後的一百多年中，經E.馬略特、雅各布第一·伯努利（見伯努利家族）、A.帕倫、C.-A.de庫侖等科學家的繼續研究，基本上形成以平截面假設為基礎的彎曲理論。這一近似理論滿足了工程上的要求並得到廣泛的套用。

2.彎曲形式

若梁的橫截面有一縱向對稱軸，則梁有一縱向對稱面。梁的軸線即為縱向對稱面內的直線（直梁情形）或曲線（曲梁情形）。若作用於樑上的載荷都在這個縱向對稱面內，則撓曲線也是這一平面內的曲線，這類彎曲稱為平面彎曲，是工程中最常見的彎曲形式。若梁的橫截面無對稱軸，則梁也無縱向對稱面，但只要載荷通過彎心連線，且平行於截面的形心主慣性軸（見截面的幾何性質），梁的變形仍為平面彎曲。在橫截面無對稱軸的情況下，如果載荷通過彎心但不平行於截面的形心主慣性軸，則梁在兩個形心主慣性平面內同時產生彎曲變形，變形後的撓曲線不再位於載荷作用的縱向平面內，這種彎曲稱為非對稱彎曲。若梁的橫截面雖有對稱軸，而載荷通過截面形心而不與對稱軸重合，梁也會在兩個形心主慣性平面內同時彎曲，變形後的撓曲線也不在載荷作用的縱向平面內，這種彎曲有時稱為斜彎曲。

3.剪力圖和彎矩圖

對橫向載荷作用下的梁（圖2a），用假想的橫截面mn把梁截開。由於每一部分處於平衡狀態，所以在截面mn上，必然有一個分布的內力系，它代表mn截面左右兩部分之間的相互作用。根據平衡條件，截面上的內力系可用一個大小為M的力矩和一個與截而相切的、大小為Q的力代替（圖2b），前者稱為mn截面上的彎矩，後者稱為mn截面上的剪力。不同截面上的彎矩和剪力一般不相同。在實際問題中，為便於計算梁內的應力和梁的變形，常用圖表示剪力和彎矩隨截面位置的變化，這些圖稱為剪力圖和彎矩圖。例如圖3中在集中力P作用下的簡支梁，其剪力和彎矩分別如其下的兩折線所示。圖中橫坐標x表示截面位置，縱坐標分別為該截面上的剪力Q和彎矩M。若在梁的某一部分內，截面上只有彎矩而無剪力，則這一部分梁的彎曲稱為純彎曲；既有彎矩又有剪力的彎曲，稱為橫力彎曲。

梁[力學]

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4.彎曲正應力

每一梁截面上的彎矩都由截面上的彎曲正應力所平衡。由梁截面上的彎矩可進一步求出截面上正應力的分布規律。根據平截而假設，梁內必然存在一個變形前後纖維長度不改變的中性層。它把梁分為兩部分，一部分受拉，另一部分受壓。中性層和橫截面的交線稱為中性軸（圖4）。對直梁來說，彎曲變形後撓曲線上一點的曲率半徑ρ和該點所在截面上的彎矩M之間有以下關係：

梁[力學]

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式中E為材料的彈性模量，I為截面對中性軸的慣性矩。EI反映了梁抵抗彎曲變形的能力，稱為彎曲剛度。梁內任一纖維的受力和變形，與它到中性層的距離成正比，即橫截面上任意點的彎曲正應力與該點到中性軸的距離成正比，如圖5所示。圖中正應力用右側的箭頭表示。彎曲正應力的計算公式為：

梁[力學]

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式中σ為橫截面上一點的正應力值；y為該點到中性軸的距離。由於橫截面上離中性軸越遠的點的正應力越大，所以，為了充分利用材料，應儘可能把材料置放於離中性軸較遠處。這樣梁能以較小的彎曲變形抵抗彎矩的作用。採用工字梁或箱形梁的道理就在於此。

上述直梁彎曲理論，在純彎曲的情況下是精確的。如果把它套用於橫力彎曲，所得結果是近似的，但對比較細長的梁其精確度已可滿足工程要求。對軸線曲率半徑遠大於橫截面高度的曲梁，仍然可以使用式（2）。但如果軸線曲率半徑和橫截面高度的量級相同（如吊鉤），則正應力沿截面高度的變化規律為雙曲線（圖6），而不再象直梁那樣按直線規律分布。

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5.彎曲剪應力

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在橫力彎曲下，梁截面上除了有與彎矩對應的正應力外，還有與剪力對應的彎曲剪應力。剪應力的分布與梁的幾何形狀有關，它在變截面梁和等截面梁中的分布也有很大差異。用材料力學的方法，可以計算截面呈某些特殊形狀的桿件的剪應力。例如，在狹長矩形截面梁中，剪應力沿截面的高度按拋物線規律分布（圖7）。圖中左邊的箭頭表示剪應力的方向，右邊的陰影表示剪力的大小。在中性軸上，剪應力最大（ ），而在橫截面上下邊緣，剪應力等於零。

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在梁的彎曲問題中，彎曲正應力是主要的，彎曲剪應力是次要的，有時可忽略。但對於一些特殊情況的梁，如跨度較短的梁、薄腹板梁、夾層梁等，剪應力不可忽略。

6.彎曲變形

在如圖8所示的坐標系中，以v表示直梁平面彎曲撓曲線上一點的縱坐標，則撓曲線的方程式可以寫作：

v=f（x），（3）

梁[力學]

v就是橫坐標為x的梁截面形心的垂直位移，稱為撓度。梁截面在彎曲變形中對其原來的位置所轉過的角度θ稱為該截面的轉角。工程中常見的直梁，其撓曲線是一非常平坦的曲線，即撓度v遠小於跨度l，轉角θ也非常小。這樣，截面轉角θ近似地等於撓曲線上對應點的斜率tgθ，即

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而曲率 也可近似地寫成：

梁[力學]

將上式中的曲率代入公式（1），得出撓曲線的近似微分方程式：

梁[力學]

根據以上方程式，通過積分法，共軛梁法或差分法等，就可求得截面轉角及撓度。

以上的討論，都假設材料是線彈性的，服從胡克定律。若應力超出彈性範圍，材料中就會出現塑性變形。在這種情況下，平截面假設仍然有效，但應力-應變關係不再是線性的，且在載入和卸載過程中遵循不同的規律。在考慮塑性變形的基礎上研究梁的彈塑性彎曲問題，會得出一些不同的結果 （見塑性力學） 。